Versio 14. toukokuuta 2006 kello 15.35 muokkaa Riojajar (keskustelu \| muokkaukset) automaattiseulotut käyttäjät 622 muokkausta p luokkavaihdos ← Vanhempi muutos		Versio 28. joulukuuta 2006 kello 03.57 muokkaa kumoa Jani Iltanen (keskustelu \| muokkaukset) 290 muokkausta Ei muokkausyhteenvetoa Uudempi muutos →
Rivi 1: Oletetaan, että m on positiivinen [[kokonaisluku]]. '''Fareyn jonolla''' ~~F_m~~F<sub>m</sub> tarkoitetaan tällöin niiden välillä [0,1] olevien [[murtoluku]]jen kasvavaa jonoa, jotka: - ovat supistetussa muodossa (ts. [[osoittaja]]n ja [[nimittäjä]]n) suurin yhteinen tekijä on 1 ja Rivi 5: - nimittäjä on pienempi tai yhtä suuri kuin m. Esimerkiksi: :''F''<sub>1</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} ~~F_6 = [0, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1]~~ :''F''<sub>2</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>3</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>4</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>5</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>6</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>7</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>6</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} :''F''<sub>8</sub> = {<sup>0</sup>⁄<sub>1</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>3</sup>⁄<sub>4</sub>, <sup>4</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>5</sup>⁄<sub>6</sub>, <sup>6</sup>⁄<sub>7</sub>, <sup>7</sup>⁄<sub>8</sub>, <sup>1</sup>⁄<sub>1</sub>} ==Fareyn jonojen historiaa== Fareyn jonot on nimetty brittiläisen mineralogin (kidetutkijan) [[John Farey]]n mukaan. Hänen näitä jonoja koskeva kirjoitelmansa julkaistiin lehdessä nimeltä [[Philosophical Magazine]] vuonna [[1816]]. Farey esitti väittämän, että jonon kukin jäsen voidaan laskea sen lähimpien naapurien ns. medianttina ts. jakamalla näiden lukujen osoittajien summa niiden nimittäjien summalla. Farey ei kuitenkaan tiettävästi itse todistanut väittämäänsä. Todistuksen esitti ensimmäisenä Cauchy kirjassaan Exercises de mathématique. Saman tuloksen oli kuitenkin esittänyt toinen matemaatikko C. Haros jo vuonna [[1802]]. Harosin artikkeli ei kuitenkaan liene ollut Fareyn tai Cauchyn tiedossa. On siis lähinnä historiallinen sattuma, että jonot kantavat edelleen Fareyn nimeä.▼ [[Luokka:Lukuteoria]]▼ ▲Fareyn jonot on nimetty brittiläisen mineralogin (kidetutkijan) [[John Farey]]n mukaan. Hänen näitä jonoja koskeva kirjoitelmansa julkaistiin lehdessä nimeltä Philosophical Magazine vuonna [[1816]]. Farey esitti väittämän, että jonon kukin jäsen voidaan laskea sen lähimpien naapurien ns. medianttina ts. jakamalla näiden lukujen osoittajien summa niiden nimittäjien summalla. Farey ei kuitenkaan tiettävästi itse todistanut väittämäänsä. Todistuksen esitti ensimmäisenä Cauchy kirjassaan Exercises de mathématique. Saman tuloksen oli kuitenkin esittänyt toinen matemaatikko C. Haros jo vuonna [[1802]]. Harosin artikkeli ei kuitenkaan liene ollut Fareyn tai Cauchyn tiedossa. On siis lähinnä historiallinen sattuma, että jonot kantavat edelleen Fareyn nimeä. [[en:Farey Sequence]] Fareyn jonossa tiettyä lukua välittömästi seuraava luku tai sitä välittömästi edeltävä luku voidaan laskea tehokkaasti ns. alkeislukuteoriaan perustuvan algoritmin avulla. Tämä algoritmin esitys ja todistus löytyvät lähteestä [1]. Samassa lähteessä kerrotaan myös Fareyn jonojen yhteydestä ns. egyptiläisten murtolukujen ongelmaan ja yhteen nykyisen lukuteorian keskeisimmistä todistamattomista väittämistä, Riemannin hypoteesiin. [[ca:Successió de Farey]] [[de:Farey-Reihe]] ~~===Lähteet===~~ [[es:Sucesión de Farey]] [[fr:Suite de Farey]] *[1]'''Matti K. Sinisalo:''' Fareyn luvut ja Mathematica, julkaisussa Logiikka, matematiikka ja tietokone - Perusteet, historiaa, filosofiaa ja sovelluksia, Suomen Tekoälyseuran julkaisuja, Symposiosarja, No 14, 1996, pp. 243-249 ([http://www.geocities.com/mattiksinisalo/farey2.pdf PDF]) [[ja:ファレイ数列]] [[ru:Дроби Фарея]] ▲[[Luokka:Lukuteoria]] [[zh:法里數列]]

Ero sivun ”Fareyn jono” versioiden välillä