Ero sivun ”Epidemian matemaattinen mallintaminen” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rivi 57:
Helposti voidaan osoittaa, että tässä mallissa tartuttavuusluku <math>R_0 = \frac{\beta}{\gamma + \mu}</math>. Tästä nähdään, että 1) mallissa, jossa huomioidaan syntyvyys ja luonnollinen kuolleisuus <math>R_0</math> on aina pienempi kuin yksinkertaisemmassa mallissa sekä 2) tarkasteltavan väestön elinaika vaikuttaa tartuttavuuslukuun. Tartuttavuusluku on siis aidosti yhteiskunnallisista olosuhteista riippuva suure.<ref name="MID"/>
Mielenkiintoinen tulos saadaan, kun tarkastellaan yhtälöryhmän tasapainotiloja, eli tilannetta jossa ''dS/dt = dI/dt = dR/dt = 0''. ''I''-yhtälöstä saadaan
: <math>
\begin{align}
I(\beta S - (\gamma +\mu)) = 0\\[6pt]
\end{align}
</math>
mikä selvästikin toteutuu taudin hävitessä, eli kun <math>I^* = 0</math>, mutta myös silloin kun <math>S^* = (\gamma + \mu)/\beta</math>. Tämä voidaan kirjoittaa perustartuttavuusluvun avulla yksinkertaiseen muotoon <math>S^* = 1/R_0</math>. Sijoittamalla tulos ''I''-yhtälöön, saadaan laskettua kuinka suuri osa väestöstä on sairaana tasapainotilan vallitessa:
: <math>
\begin{align}
I^* = \frac{\mu}{\gamma}(1-\frac{1}{R_0}) = \frac{\mu}{\gamma}(R_0 -1)\\[6pt]
\end{align}
</math>
tämä sairaiden osuus on taudin [[vallitsevuus]] eli prevalenssi. Se on se osa väestöstä, joka on koko ajan sairastuneena. Kun <math>R_0 > 1</math> (nyt se on ainoa mahdollisuus, muulloinhan <math>I^*</math> olisi negatiivinen) tämä tasapainotila on stabiili. Ehkä hieman yllättäen epidemia ei siis leviä vaikka tartuttavuusluku onkin ykköstä suurempi. Taudista on tullut '''endeeminen''': siihen sairastuu sama määrä ihmisiä kuin siitä paranee.<ref name="MID"/>
=== SIRD-malli ===
| |||