Ero sivun ”Hamiltonin mekaniikka” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Toinen välitallennus |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 25:
Hamiltonin mekaniikka on mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikassa]], jonka formalismi perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan.
== Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori ==
Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on
:<math>T = \frac{1}{2}m \dot{x}^2</math>
ja johon kohdistuu potentiaalienergia
:<math>V = \frac{1}{2}cx^2</math>,
missä <math>m</math> on kappaleen massa ja <math>c</math> vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli [[Lagrangen mekaniikka]])
:<math>L = \frac{1}{2}m \dot{x} - \frac{1}{2}cx^2</math>
ja koordinaattia <math>x</math> vastaava yleistetty impulssi saadaan derivoimalla <math>\dot{x}</math>:n suhteen:
:<math>p = m \dot{x}</math> (huomaa, että tämä on täsmälleen kappaleen liikemäärä).
Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä <math>\dot{x}</math> impulssin <math>p</math> avulla, jolloin saadaan <math>\dot{x} = p/m</math> ja sijoitetaan
:<math>H = \frac{p}{m}\cdot p - (\frac{p^2}{2m} - \frac{1}{2}cx^2) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}cx^2</math>.
Nyt voidaan kirjoittaa Hamiltonin yhtälöt:
:<math>
\left\{
\begin{matrix}
\dot{x} &= &\frac{p}{m}\\
\dot{p} &= &-cx
\end{matrix}
\right.</math>
Derivoimalla ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoittamalla jälkimmäinen päädytään kappaleen liikeyhtälöön
:<math>\ddot{x} = -\frac{c}{m} x</math>,
jonka ratkaisuna saadaan
:<math>x = A_1 \sin(\sqrt{c/m}\;t) + A_2 \cos(\sqrt{c/m}\;t)</math> eli x-akselin suunnassa tapahtuva sinimuotoinen liike.
== Katso myös ==
Rivi 33 ⟶ 57:
[[Luokka: Klassinen mekaniikka]]
[[Luokka: Teoreettinen fysiikka]]
[[ar:ميكانيك هاملتوني]]
[[ca:Formulació hamiltoniana]]
[[de:Hamilton-Formalismus]]
[[en:Hamiltonian mechanics]]
[[es:Mecánica hamiltoniana]]
[[fa:مکانیک همیلتونی]]
[[fr:Mécanique hamiltonienne]]
[[id:Mekanika Hamiltonian]]
[[it:Meccanica hamiltoniana]]
[[ja:ハミルトン力学]]
[[ko:해밀토니안 역학]]
[[nl:Hamiltonformalisme]]
[[no:Hamiltonmekanikk]]
[[ru:Гамильтонова механика]]
[[zh:哈密顿力学]]
| |||