Ero sivun ”Logaritminen asteikko” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jni (keskustelu | muokkaukset) p →Viiteet: typo |
KLS (keskustelu | muokkaukset) laajennettu, ei enää tynkä |
||
Rivi 1:
'''Logaritminen asteikko''' tarkoittaa [[mitta-asteikko]]a, jolla
Yleisesti käytettyjä logaritmisisia asteikkoja ovat esimerkiksi äänenvoimakkuuden ja [[vahvistus|vahvistuksen]] [[desibeli]]asteikko, maanjäristysten voimakkuutta ilmaiseva [[momenttimagnitudi]], tähtien [[magnitudi (tähtitiede)|magnitudiasteikko]]<ref>{{Verkkoviite|osoite=http://jultika.oulu.fi/files/nbnfioulu-201909212922.pdf|nimeke=Logaritmin perusteet|tekijä=Määttä, Sami|julkaisu=|ajankohta=2019|julkaisija=Oulun yliopisto|viitattu=}}</ref> sekä kemiassa käytetty [[pH]]-asteikko.<ref name=Energia>{{Verkkoviite | osoite=https://energyeducation.ca/encyclopedia/Logarithmic_scale|nimeke=Logarithmic scale - Energy Education|julkaisu=energyeducation.ca|viitattu=2020-07-13|ietf-kielikoodi=en}}</ref>
[[Tiedosto:Logarithmic_scale.svg|thumb|upright=1.7|right|Logartminen asteikko välillä 0,1 ... 100]]
Logaritmisella asteikolla voidaan tarkoittaa myös yhdensuuntaisten viivojen muodostamaa kaaviota, jossa jokainen viiva vastaa jotakin lukua sillä tavoin, että kutakin lukua vastaavan viivan etäisyys lukua 1 vastaavasta perusviivasta on verrannollinen luvun logaritmiin.
== Matemaattinen määritelmä ==
Jos suureelle ''A'' käytetään logaritmista asteikkoa, sille on määriteltävä jokin perustaso ''A''<sub>0</sub>, jota vastaa luku 0. Suureen ''A'' muita arvoja vastaava lukuarvo logaritmisella asteikolla on tällöin
: <math>p = k \log_b \frac{A}{A_0}</math>,
missä ''b'' on käytettävän logaritmin [[kantaluku]] ja ''k'' jokin vakio, yleensä kokonaisluku, usein 1. Monissa tapauksissa logaritmisella asteikolla käytetään kantalukua 10, toisin sanoen [[Briggsin logaritmi|Briggsin logaritmeja]], eräissä tapauksissa kuitenkin kantalukua ''[[Neperin luku|e]]'' tai ''2'', toisin sanoen [[luonnollinen logaritmi|luonnollista]] tai [[binäärinen logaritmi|binääristä]] logaritmia.
Siinäkin tapauksessa, että vakion ''k'' arvo ei ole 1, asteikon määritelmä voidaan aina muuntaa myös muotoon, jossa jossa logaritmin edessä ei ole kerrointa ''k''. Tällöin on vain kantaluku ''b'' korvattava kantaluvulla <math>b^\frac{1}{k} = \sqrt[k]{b}</math>.
Muutamille suureille käytetään sellaisiakin logaritmisia asteikkoja, joilla ilmaistu luku on poikkeavasti sitä ''suurempi'', mitä ''pienempi'' varsinainen suure on. Tällaiset asteikot määritellään joko niin, että logaritmin kantaluku ''b'' on pienempi kuin 1, tai yhtäpitävästi niin, että edellä esitetyssä lausekkeessa oleva kerroin ''k'' on negatiivinen. Jälkimmäisessä tapauksessa lukuarvo asteikolla on siis varsinaisen suureen logaritmin [[vastaluku]], joka on sama kuin suureen [[käänteisluku|käänteisarvon]] logaritmi. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi kemiassa käytetty [[pH]]-asteikko ja tähtitieteessä käytetty tähtien [[magnitudi (tähtitiede)|magnitudi]]asteikko.
== Esimerkkejä ==
Yleisesti käytettyjä logaritmisia asteikkoja ovat esimerkiksi seuraavat:
* [[Maanjäristys]]en voimakkuudet ilmaistiin aikaisemmin [[Richterin asteikko|Richterin asteikolla]], jonka nyttemmin on korvannut [[momenttimagnitudi]]asteikko (MMS). Molemmat ovat logaritmisia asteikkoja, joissa kantalukuna on 10 ja asteikoilla ilmoitetut luvut tarkoittavat eräiden järistyksen voimakkuutta kuvaavien suureiden logaritmeja.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://www.helsinki.fi/fi/seismologian-instituutti/maanjaristykset/perustietoa-maanjaristyksista-0 | Nimeke = Perustietoa maanjäristyksistä | Selite = kohta Magnitudiasteikot | Julkaisija = Seismologian instituutti | Viitattu = 16.7.2020}}</ref>
* Äänen voimakkuus ilmaistaan tavallisesti [[desibeli|desibeleinä]]. Äänen voimakkuus desibeleinä saadaan kaavasta <math>dB = 10 \cdot \log_10{\frac{I}{I_0}}</math>, missä ''I'' on äänen [[intensiteetti]] ja ''I'' hiljaisinta kuultavaa ääntä vastaava intensiteetti<ref name=Energia />, jolle käytetään arvoa 10<sup>-12</sup> W/m<sup>2</sup> (eli 10<sup>-16</sup> W/cm<sup>2</sup>).<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan iso Fokus, 2. osa (Em–Io) | Sivu = 530 | Luku = Desibeli | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1973 | Tunniste = ISBN 951-1-00273-2}}</ref>
* Musiikissa sävelten korkeusero voidaan ilmoittaa esimerkiksi [[oktaavi|oktaaveina]] taikka (yleensä [[tasavireisyys|tasavireisinä]]) koko- tai puoliaskelina. Kun äänen taajuus kaksinkertaistuu, sävelkorkeus nousee aina yhden oktaavin verran<ref name=Tammi>{{kirjaviite | Nimeke = Tammen musiikkitietosanakirja, 2. osa (M–Ö) | Sivu = 192 | Luku = Sävel | Julkaisija = Tammi | Vuosi = 1983 | Tunniste = ISBN 951-30-5916-2}}</ref>, joten korkeusero oktaaveina on sama kuin taajuuksien suhteen 2-kantainen logaritmi. Oktaavi jakautuu 12 (tasavireiseen) puoliaskeleeseen, joten sävelten korkeusero puoliaskelina mitattuna on <math>12 \log_2{\frac{f_1}{f_2}}</math>. Tavallisesti oktaavia pienemmät korkeuserot kuitenkin ilmaistaan [[intervalli]]en nimillä kuten sekunti, terssi jne, joista jokainen myös vastaa tietyn suuruista taajuuksien suhdetta.<ref name=Tammi /> [[Mikrointervalli]]en suuruus voidaan ilmoittaa [[sentti (akustiikka)|sentteinä]] eli puoliaskelen sadasosina<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Tammen musiikkitietosanakirja, 2. osa (M–Ö) | Sivu = 158 | Luku = Sentti | Julkaisija = Tammi | Vuosi = 1983 | Tunniste = ISBN 951-30-5916-2}}</ref><ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www2.siba.fi/akustiikka/index.php?id=13&la=fi | Nimeke = Akustiikan perusteet: hertsi, sentti ja desibeli | Julkaisija = Sibelius-akatemia | Viitattu = 16.7.2020}}</ref>; täten korkeusero sentteinä on <math>1200 \log_2{\frac{f_1}{f_2}}</math>
* Kemiassa liuosten [[happamuus]] tai [[emäksisyys]] ilmoitetaan tavallisesti [[pH]]-arvoina. Liuoksen pH on määritelmän mukaan siinä olevien [[oksonium]]ionien (H<sub>3</sub><sup>+</sup>) [[konsentraatio]]n 10-kantaisen logaritmin vastaluku, kun konsentraation yksikkönä on [[mooli]] litraa kohti. Arvo 7 vastaa neutraalia, sitä pienemmät arvot hapanta ja suuremmat emäksistä liuosta.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Matti Tiilikainen, Ilkka Virtamo | Nimeke = Kemia 1 | Sivut = 103–104 | Luku = Protolyysireaktiot vedessä ja pH | Julkaisija = WSOY | Vuosi = 1968}}</ref>
* Tähtien näennäiset kirkkaudet ilmaistaan yleensä niiden [[magnitudi (tähtitiede)|magnitudeina]], jotka on määritelty niin, että jos kahdesta tähdestä toisen näennäinen kirkkaus on 100 kertaa suurempi kuin toisen, jälkimmäisen (himmeämmän) magnitudi on 5 yksikköä suurempi kuin edellisen (kirkkaamman). Jos tähtien kirkkaudet ovat ''F''<sub>1</sub> ja ''F''<sub>2</sub>, on niiden magnitudien erotus siis <math>5 \cdot \log_100{\frac{F_2}{F_1}} = 2.5 \cdot \log_100{\frac{F_2}{F_1}}</math>. Muutamien kirkkaimpien tähtien magnitudit ovat negatiivisia, esimerkiksi [[Sirius|Siriuksen]] magnitudi on -1,5 ja Auringon -26,8.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen | Nimeke = Tähtitieteen perusteet | Sivu = 117–118 | Luku = Näennäiset magnitudit | Julkaisija = Tähtitieteellinen yhdistys Ursa, Valtion painatuskeskus | Vuosi = 1984 | Tunniste = ISBN }}</ref>
Useissa tapauksissa yhtenä perusteena logaritmisen asteikon käytölle on se, että [[Weberin–Fechnerin laki|Weberin–Fechnerin lain]] mukaan monet ihmisen aistit toimivat logaritmisesti, toisin sanoen aistimuksen koettu voimakkuus on verrannollinen sen aiheuttavan ärsykkeen logaritmiin.<ref>{{verkkoviite | Osoite = https://glosbe.com/en/fi/Fechner%27s%20law | Nimeke = Fechner's Law | Viitattu = 16.7.2020}}</ref> Erityisesti [[kuulo]]aisti havaitsee yhtä suuret äänten taajuuksien suhteet yhtä suurina sävelkorkeuden muutoksina siten, että esimerkiksi jokaisella [[oktaavi]]lla sävelkorkeuden koetaan kasvavan saman verran, vaikka äänen taajuus kasvaa tällöin aina kaksinkertaiseksi.
=== Asteikkoja, jotka myös voidaan käsittää logaritmisiksi ===
Toisinaan samakin asteikko voidaan näkökulmasta riippuen katsoa joko lineaariseksi tai logaritmiseksi. Esimerkiksi fysiikassa [[entropia]] voidaan määritellä kahdella oleellisesti eri tavalla, jotka kuitenkin voidaan osoittaa yhtäpitäviksi. Vanhemman määritelmän mukaan entropian muutos on yhtä suuri kuin luovutettu tai vastaanotettu [[lämpömäärä]] jaettuna [[absoluuttinen lämpötila|absoluuttisella lämpötilalla]].<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Vesa Apaja |Nimeke = FYSA2041 Statistinen fysiikka, osa A | Sivu = 41–42 | Luku = Entropia | Julkaisija = Jyväskylän yliopisto | Selite = (luentomoniste) | Vuosi = | www = http://users.jyu.fi/~veapaja/Statistical_Physics/luentomoniste.pdf}}</ref> Näin se voidaan ilmaista tavanomaisella lineaarisella asteikolla, yksikkönä [[joule]] [[kelvin]]iä kohti. Myöhemmin [[Boltzmann]] kuitenkin osoitti, että systeemien entropia on verrannollinen niiden mikrotilojen lukumäärän logaritmiin, jotka vastaavat samaa makrotilaa. Näin ymmärrettynä entropia-asteikko voidaankin käsittää tämän lukumäärän, ns. statistisen painon (Ω) logaritmiseksi mitta-asteikoksi. Tällöin entropian määrittelee yhtälö
<math> S = k \ln {\Omega}</math>,
missä ''S'' on systeemin entropia, Ω samaa makrotilaa vastaavien mikrotilojen lukumäärä ja ''k'' [[Boltzmannin vakio]].<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Vesa Apaja |Nimeke = FYSA2041 Statistinen fysiikka, osa A | Sivu = 87 | Luku = Boltzmannin entropia | Julkaisija = Jyväskylän yliopisto | Selite = (luentomoniste) | Vuosi = | www = http://users.jyu.fi/~veapaja/Statistical_Physics/luentomoniste.pdf}}</ref>
[[Tietotekniikka|Tietotekniikassa]] informaatiota mitataan [[bitti|bitteinä]] tai [[tavu]]ina. Tietoyksikön koko ilmaistuna bitteinä tai tavuina on suoraan verrannollinen sen viemään tilaan tietokoneen muistissa taikka [[levy (tietotekniikka)|levyllä]] tai muulla vastaavalla tietovälineellä. Näin ymmärrettynä asteikko on lineaarinen. Mutta yhtä hyvin bittien tai tavujen lukumäärä voidaan käsittää myös logaritmiseksi mitaksi sille, kuinka monta ''erilaista'' arvoa tietoyksikkö voi saada, toisin sanoen kuinka monta ''erilaista'' sisältöä tietyn suuruiseen tilaan olisi mahdollista tallentaa.
== Graafinen esitys ==
[[Tiedosto:Logarithmic Scales-mkII.svg|Logarithmic Scales-mkII|thumb|400px|Erilaisia graafisia esityksiä. Ylävasemmalla: sekä vaaka- että pystysuunnassa lineaarinen asteikko (lin-lin). Yläoikealla: puolilogaritminen, vaakasuunnassa logaritminen, pystysuunnassa lineaarinen asteikko (lin-log). Alavasemmalla puolilogaritminen: vaakasuunnassa lineaarinen, pystysuunnassa logaritminen asteikko (log-lin). Alaoikealla sekä vaaka- että pystysuunnassa logaritminen asteikko (log-log). Kuhunkin kaavioon on merkitty seuraavien yhtälöiden kuvaajat: ''y'' = 10<sup> ''x''</sup> (<span style="color:red;">punainen</span>), ''y'' = ''x'' (<span style="color:green;">vihreä</span>), ''y'' = log<sub>''e''</sub>(''x'') (<span style="color:blue;">sininen</span>).]]
Graafisena esityksenä logaritminen asteikko on yhdensuuntaisten viivojen muodostamaa kaavio, jossa jokainen viiva vastaa jotakin lukua sillä tavoin, että kutakin lukua vastaavan viivan etäisyys lukua 1 vastaavasta perusviivasta on verrannollinen luvun logaritmiin.
''Logaritminen ruudukko'' on ruudukko, jossa sekä vaaka- että pystysuorat viivat muodostavat logaritmisen asteikon. ''Puolilogaritminen ruudukko'', on ruudukko, jossa pystysuorat viivat muodostavat logaritmisen, vaakasuorat sen sijaan tasavälisen eli lineaarisen asteikon, tai päinvastoin.
Paperia, jolle on painettu logaritminen tai puolilogaritminen ruudukko, sanotaan vastaavasti ''logaritmi-'' tai ''puolilogaritmipaperiksi''.<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan iso Fokus, 4. osa (Kr–Mn) | Sivu = 2341 | Luku = Logaritmipaperi | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1973 | Tunniste = ISBN 951-1-00388-7}}</ref> Ennen tietokonegrafiikan käyttööntuloa tällaisia papereita käytettiin yleisesti tieteellisten mittaustulosten havainnolliseen esittämiseen.
[[Laskuviivain|Laskuviivaimessa]] luvut on sijoitettu kahdelle logaritmiselle asteikolle, joita voidaan siirtää toistensa suhteen. Kertolaskun suorittaminen laskuviivaimella perustuu siihen, että tulon logaritmi on sen tekijöiden logaritmien summa eli <math>\log {ab} = \log{a} + \log{b}</math>.<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan iso Fokus, 4. osa (Kr–Mn) | Sivu = 2212 | Luku = Laskuviivain | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1973 | Tunniste = ISBN 951-1-00388-7}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Yngve Lehtosaari, Jarkko Leino | Nimeke = Matematiikka 11, Lukion laajempi kurssi | Sivu = 65 | Luku = Numeeriset laskut logaritmeilla | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1974 | Tunniste = ISBN 951-26-0078-1}}</ref>
[[Tiedosto:slide rule example3.svg|thumb|590px|center|Kaksi logaritmista asteikkoa laskuviivaimella]]
== Viitteet ==
{{Viitteet}}
[[Luokka:Matematiikka]]
| |||