Ero sivun ”Metrinen avaruus” versioiden välillä

# <math>d(x,y) = 0 \,\!</math> jos ja vain jos <math>x = y </math>

# <math>d(x,y) = d(y,x) \,\!</math>

 

Metristä avaruutta <math>(X, d)</math> kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi <math>X</math>, jos käytössä oleva metriikka <math>d</math> on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden <math>X</math> alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua <math>d(x,y)</math> pisteiden <math>x</math> ja <math>y</math> väliseksi etäisyydeksi.

 

==Esimerkkejä==

* Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa <math>X</math> voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka määrittelemällä <math>d(x, y) = 0</math> jos <math>x = y</math> ja <math>d(x, y) = 1</math> muutoin.

* [[Reaaliluku|Reaalilukujen]] joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan <math>d(x, y) = |x - y|</math>.

 

==Määritelmiä==

===Kuulat ja pallot===

Olkoon <math>(X,d)</math> metrinen avaruus, <math>x \in X</math> ja <math>r \in \mathbb{R}_+ = \{y \in \mathbb{R} : y > 0\}</math>. Tällöin joukkoa

 

 

===Rajoitettu joukko===

Metrisen avaruuden <math>(X, d)</math> osajoukkoa <math>A \subseteq X</math> sanotaan '''rajoitetuksi''', jos on olemassa sellainen säde <math>r \in \mathbb{R}_+</math>, että <math>d(x, y) < r</math> kaikilla <math>x, y \in A</math>. Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon '''[[halkaisija]]'''ksi eli läpimitaksi.<ref name=Vaisala />

 

===Pisteen etäisyys joukosta===

Metrisen avaruuden pisteen <math>x \in X</math> etäisyys joukosta <math>A \subseteq X</math> on lyhin etäisyys pisteestä <math>x</math> johonkin joukon <math>A</math> pisteeseen, toisin sanoen

 

 

==Kirjallisuutta==

* {{Kirjaviite | Tekijä=Kaleva, Osmo | Nimeke=Reaalianalyysi | Selite=opintomoniste 141 | Julkaisija=TTKK | Julkaisupaikka=Tampere | Vuosi=1992 | Isbn= 951-721-600-9}}