Ero sivun ”Avoin joukko” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p w |
läpikäyntiä |
||
Rivi 1:
'''Avoin joukko''' on [[Topologia (matematiikka)|topologian]] keskeisin peruskäsite. <ref>Suominen & Vala: s. 1–2</ref> Avoimien joukkojen avulla voidaan suoraan määritellä mm. topologian keskeiset käsitteet ''[[raja-arvo]]'', ''[[jatkuva funktio|jatkuvuus]]'' ja ''[[yhtenäisyys]]''.
Avoimen joukon käsite on eräänlainen [[reaaliluku]]jen joukossa määritellyn [[avoin väli|avoimen välin]] käsitteen yleistys. [[Metrinen avaruus|Metrisessä avaruudessa]] avoin joukko määritellään sen [[Metriikka (matematiikka)|metriikan]] avulla tietyt ehdot toteuttavaksi avaruuden osajoukoksi. [[Yleinen topologia|Yleisessä topologiassa]] sen sijaan [[topologinen avaruus]] määritellään valitsemalla perusjoukosta kokoelma sen osajoukkoja, joita sanotaan ''avoimiksi joukoiksi'' ja jotka yhdessä määrittelevät avaruuden topologian.
== Avoimet joukot metrisessä avaruudessa ==
[[Kuva:Neighborhood illust2.svg|thumb|Kuvan joukko V ei ole avoin, sillä pisteen p ympäristö ei sisälly joukkoon V.]]
[[Metrinen avaruus|Metrisessä avaruudessa]] avaruuden [[osajoukko]] ''A'' on ''avoin'', jonka jokaisella pisteellä ''x'' on [[ympäristö (topologia)|ympäristö]] U (''x'', <math>\epsilon</math>, joka kokonaisuudessaan sisältyy joukkoon ''A''.<ref
Yhtäpitävästi voitaisiin määritellä, että joukko ''A'' on avoin, jos mikään sen [[reuna (topologia)|reunapiste]] ei kuulu joukkoon ''A''.
Rivi 23 ⟶ 22:
== Avoimet joukot topologisessa avaruudessa ==
Jo metrisissä avaruuksissa avoimen joukon käsitteen avulla voidaan karakterisoisa monia topologisia käsitteitä kuten [[raja-arvo]] ja [[jatkuva funktio|jatkuvuus]]. Näiden käsitteiden kannalta metriikka sinänsä kuitenkin on epäoleellinen; merkitystä on vain sillä, mitkä joukot ovat avoimia. Tämä on antanut aiheen määritellä yleisempi [[topologinen avaruus|topologisen avaruuden]] käsite.
Rivi 39 ⟶ 37:
== Esimerkkejä ==
* Erityisen tärkeitä avoimia joukkoja ovat [[metrinen avaruus|metrisen avaruuden]] avoimet kuulat, eli joukot, joihin kuuluvat avaruuden ne pisteet, joiden etäisyys jostakin annetusta pisteestä on pienempi kuin jokin vakio. Ne muodostavat [[kanta (topologia)|kannan]] metrisen avaruuden ns. ''tavalliselle topologialle''. Erityisesti reaaliakselin '''[[avoin väli]]''' on klassinen esimerkki avoimesta joukosta.
== Ympäristöt ==
Avoimiin joukkoihin liittyy oleellisesti '''ympäristön''' käsite. Jos <math>x \in X</math> ja on olemassa avoin joukko <math>U \in \mathcal{T}</math>, jolla <math>x \in U</math>, niin joukkoa ''U'' kutsutaan pisteen ''x'' ympäristöksi.
Rivi 56 ⟶ 52:
* Joukko on '''[[yhtenäisyys|yhtenäinen]]''', jos ja vain jos sitä ei voi lausua epätyhjien avoimien joukkojen erillisenä yhdisteenä.
== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = Suominen, Kalevi & Vala, Klaus | Nimeke = Topologia | Julkaisija = Gaudeamus | Vuosi = 1965 | Isbn= 951-662-050-7}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivut = | Luku = Avoin ja suljettu joukko | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Isbn= 951-26-0936-3}}
* {{Kirjaviite | Tekijä = Väisälä, Jussi | Nimeke = Topologia II | Julkaisija = Limes ry | Julkaisupaikka = Helsinki | Vuosi = 1981 | Tunniste = ISBN 951-745-082-6}}
* {{Kirjaviite | Tekijä=Jalava, Väinö | Nimeke=Moderni analyysi I | Selite=Opintomoniste 15 | Julkaisija=TTKK | Julkaisupaikka=Tampere | Vuosi=1976 |
* {{kirjaviite | Tekijä=Lipschutz, Seymour | Nimeke=General Topology | Julkaisija=McGraw-Hill | Vuosi=1965 | Isbn = 0-07-037988-2}}
=== Viitteet ===
{{
{{Tynkä/Matematiikka}}
| |||