Wikipedia

Ero sivun ”Trigonometrinen funktio” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[katsottu versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Rivi 281:
==Muita määritelmiä==
 
Matemaattisessa [[analyysi (matematiikka)|analyysissä]] trigonometriset funktiot voidaan määritellä abstraktisti seuraavien perusominaisuuksiensa avulla. Olkoot ''s''(''x'') ja ''c''(''x'') kaksi [[reaaliluku|reaalimuuttujan]] reaaliarvoista funktiota, joilla on seuraavat ominaisuudet:
'''Lause:''' On olemassa täsmälleen yksi pari reaalifunktioita ''s'', ''c'', joilla on seuraavat ominaisuudet:
 
Kaikille#. Funktiot ''s''(''x'') ja ''c''(''x'') on määritelty kaikilla arvoilla <math>x, y \in \mathbb{R}</math>:
#. ''s''(0) = 0 ja ''c''(0) = 1.
#. <math>(s(x))^2 + (c(x))^2 = 1</math> kaikilla <math>x \in \mathbb{R}</math>
#. Kaikilla arvoilla <math>x \in \mathbb{R}</math> pätevät seuraavat funktioiden yhteen- ja vähennyslaskukaavat:
## ''s'' (''x''+''y'') = ''s''(''x'')''c''(''y'') + ''c''(''x'')''s''(''y'')
## ''c'' (''x''+''y'') = ''c''(''x'')''c''(''y'') - ''s''(''x'')''s''(''y'')
# :<math>\lim_{x \to 0}\frac{s(x)}{x} = 1</math>.
 
Tällöin funktiota ''s'' sanotaan sinifunktioksi ja merkitään <math>s(x) = \sin{x}</math>, ja vastaavasti funktiota ''c'' sanotaan kosinifunktioksi ja merkitään <math>c(x) = \cos{x}</math>.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = DIfferentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivu = 86 | Luku = Trigonometriset funktiot | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>
:<math>
s(x)^2 + c(x)^2 = 1,\,
</math>
 
Vaikka tämän määritelmän nojalla ei olekaan heti selvää, onko tällaisia funktiota ylipäänsä olemassa tai ovatko yksikäsitteisesti määritellyt, voidaan siitä kuitenkin johtaa trigonometristen funktioiden muut ominaisuudet. [[Väliarvolause]]en avulla voidaan esimerkiksi todistaa, että tällaiset funktiot ovat [[jaksollinen funktio|jaksollisia]]<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = DIfferentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivu = 161-162 | Luku = Täydennys trigonometrisiin funktioihin | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>. Niin ikään voidaan osoittaa, että nämä funktiot ovat [[derivoituvuus|derivoituvia]] ja että
: <math>sD sin (x+y) = s(x)c(y)cos + c(x)s(y),\,</math> ja
 
: <math>D cos (x) = -sin (x)</math>.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1 | Sivu = 112 | Luku = Trigonometristen funktioiden derivaatat | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>
:<math>c(x+y) = c(x)c(y) - s(x)s(y),\,</math>
Derivaattojen avulla voidaan edelleen johtaa näiden funktioiden [[Taylorin sarja]]t, ja tällöin todetaan, että tämä funktioiden ominaisuuksiin perustuva määritelmä on yhtäpitävä sarjakehitelmiin perustuvan määritelmän kanssa.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lauri Myrberg | Nimeke = Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2 | Sivu = 133-134 | Luku = Täydennys trigonometrisiin funktioihin | Julkaisija = Kirjayhtymä | Vuosi = 1977 | Tunniste = ISBN 951-26-0936-3}}</ref>
 
:<math>0 < xc(x) < s(x) < x\ \mathrm{for}\ 0 < x < 1.</math>
 
Tämän lauseen nojalla voidaan määritellä, että tässä tarkoitettu funktio ''s'' on sini ja ''c'' kosini.
 
== Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia ja muunnoskaavoja ==
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Trigonometrinen_funktio”