Ero sivun ”Trigonometrinen funktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
KLS (keskustelu | muokkaukset) |
KLS (keskustelu | muokkaukset) |
||
Rivi 210:
===Suhde eksponenttifunktioon ja kompleksilukuihin===
[[Eksponenttifunktio]]lle <math>e^x</math> voidaan johtaa [[Taylorin sarja]]kehitelmä:
:<math>e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2 !} + \frac{x^3}{3 !} + \frac{x^4}{4 !} + ... </math>
Tämä on alun perin johdettu vain muuttujan ''x'' [[reaali]]arvoille. Tämä kehitelmä tekee kuitenkin mahdolliseksi laajentaa eksponenttifunktiota niin, että se on määritelty silloinkin, kun ''x'' on mielivaltainen [[kompleksiluku]]: otetaan vain yllä oleva kehitelmä funktion määritelmäksi. Tällöin osoittautuu, että trigonometriset funktiot ja eksponenttifunktio liittyvät kompleksialueella läheisesti toisiinsa: kosini- ja sinifunktio ovat eksponenttifunktion reaali- ja imaginaariosa, kun muuttuja on puhtaasti [[imaginaariluku|imaginaarinen]]:
:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta \,.</math>
| |||