Ero sivun ”Trigonometrinen funktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
KLS (keskustelu | muokkaukset) |
KLS (keskustelu | muokkaukset) |
||
Rivi 80:
[[Image:Unit_circle_angles.svg|300px|thumb|right|[[Yksikköympyrä]]]]
Trigonometriset funktiot voidaan myös määritellä [[yksikköympyrä|yksikköympyrän]] eli origossa sijaitsevan ympyrän, jonka säde on 1, avulla. Tämä määritelmä ei juuri eroa aiemmasta suorakulmaisten kolmioiden avulla tehdystä, sillä se tukeutuu vahvasti suorakulmaisiin kolmioihin. Yksikköympyrän etu on kuitenkin se, että se sallii trigonometristen funktioiden määrittelyjoukon luontevan laajentamisen kaikille positiivisille ja negatiivisille kulmille sen sijaan, että hyväksyttäisiin kulman arvot ainoastaan välillä 0° < θ < 90°.
: <math>x^2 + y^2 = 1 \,</math>▼
Piirretään origon kautta kulkeva suora, joka muodostaa positiivisen ''x''-akselin kanssa kulman θ. Suora leikkaa yksikköympyrän kahdessa pisteessä, joista toinen on x-akselin ylä- ja toinen alapuolella (tai erikoistapauksessa, kun θ=0, pisteissä (-1,0) ja (1,0)). Olkoon toinen näistä leikkauspisteistä (''x'',''y''). Tällöin määritellään, että tämän pisteen ''x''-koordinaatti on kulman θ kosini ja ''y''-koordinaaatti sen sini, eli
: <math>\cos{\theta} = x</math>
: <math>\sin{\theta} = y</math>.
Jos kulma on muodostettu kiertämällä leikkauspisteestä (1,0) lähdettäessä vastapäivään, kulma θ katsotaan positiiviseksi, myötäpäivään kierrettäessä negatiiviseksi. Koska Yksikköympyrän yhtälö on:
▲: <math>x^2 + y^2 = 1 \,</math>,
seuraa tästä, että kaikilla θ:n arvoilla pätee
: <math>\cos^2{\theta} + \sin2{\theta} = 1</math>.
Kuvassa on annettu joitain tavallisia kulmien arvoja [[radiaani|radiaaneissa]]. Vastapäivään tehdyt mittaukset ovat positiivisia ja myötäpäivään tehdyt negatiivisia kulmia.
[[Image:Sine_Cosine_Graph.png|300px|right|thumb| sin(''x'')- ja cos(''x'')-funktiot koordinaatistossa.]]▼
Yksikköympyrän sisälle piirretty kolmio vahvistaa, että jos kulma θ on [[terävä kulma|terävä]], tämä määritelmä on yhtäpitävä aikaisemman, suorakulmaiseen kolmioon perustuvan määritelmän kanssa: kolmion hypotenuusa on ympyrän säde, jonka pituus on 1, joten sin θ = ''y''/1 ja cos θ = ''x''/1. Yksikköympyrää voi ajatella tapana tarkastella ääretöntä määrää suorakulmaisia kolmioita vaihtelemalla sivujen pituuksia mutta pitämällä hypotenuusa yhtäsuurena.
Yksikköympyrään perustuva määritelmä ei kuitenkaan edellytä, että kulman on oltava terävä. Kuviosta voidaan todeta, että jos pisteestä (1,0) lähdetään ympyrän kehää pitkin vastapäivään kulman θ tai edelleen kulman 180°-θ verran, pisteet, joihin päädytään, ovat toistensa peilikuvia y-akselin eli suoran ''x''=0 suhteen. Koska näiden pisteiden koordinaatit ovat (cos θ, sin θ) ja (cos (180°-θ), sin (180°-θ), seuraa tästä, että
: <math>\cos{(180^0 - \theta)} = -\cos{\theta}</math> ja
: <math>\sin{(180^0 - \theta)} = \sin{\theta}</math>,
tai jos kulmayksikkönä käytetään [[radiaani]]a,
: <math>\cos{\pi - \theta} = -\cos{\theta}</math> ja
: <math>\sin{\pi - \theta} = \sin{\theta}</math>
Jos taas kulma θ korvataan kulmalla θ, päädytään pisteeseen, joka on alkuperäisen pisteen peilikuva x-akselin suhteen. Siitä seuraa, että
:<math>\cos{-\theta} = \cos{\theta}</math> ja
:<math>\sin{\theta} = \sin{\theta}</math>.
Tämä merkitsee, että kosini on [[parillinen funktio|parillinen]], sini sen sijaan [[pariton funktio|pariton funktio]].
Muut trigonometriset funktiot määritellään sinin ja kosinin suhteina tai käänteisarvoina samoin kuin suorakulmaista kolmiota lähtökohtana käytettäessäkin voitaisiin tehdä:
:<math>\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}</math>,
:<math>\cot{\theta} = \frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}</math>,
:<math>\sec{\theta} = \frac{1}{\cos{\theta}}</math>,
:<math>\csc{\theta} = \frac{1}{\cos{\theta}}</math>,
▲[[Image:Sine_Cosine_Graph.png|300px|right|thumb| sin(''x'')- ja cos(''x'')-funktiot koordinaatistossa.]]
Kulmilla, jotka ovat suurempia kuin täysikulma <math>2\pi</math> tai pienempiä kuin <math>-2\pi</math>, trigonometriset funktiot määritellään antamalla kulman kiertyä ympäri. Toisin sanoen, jos ympyrän kehää pitkin kuljetaan kulman <math>\theta + 2\pi</math> verran, ajatellaan, että on tehty ensin täysi kierros ja sen jälkeen jatkettu vielä kulman <math>2\theta</math> verran, jolloin päädytään samaan pisteeseen kuin jos olisikin kierretty vain kulman <math>\theta</matH> verran. Tällä tavalla laajennetut sini ja kosini ovat siis [[jaksollinen funktio|jaksollisia funktioita]], joiden jakso on <math>2\pi</math>.
:<math>\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi n \right)</math>
| |||