Ero sivun ”Pii (vakio)” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jmk (keskustelu | muokkaukset) p Käyttäjän 212.213.90.123 muokkaukset kumottiin ja sivu palautettiin viimeisimpään käyttäjän Haltiamieli tekemään versioon. |
Ei muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 12:
[[Tiedosto:Pi-symbol.svg|120px|right|Pii]]
Koska pii on [[transsendenttiluku]], sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena [[Peruslaskutoimitukset|peruslaskutoimituksia]], [[potenssi]]inkorotusta ja [[Neliöjuuri|juurenottoa]] käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. [[Vanha testamentti|Vanhan testamentin]] [[Ensimmäinen kuninkaiden kirja|Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa]] <math>\pi</math> on 3:
Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä <math>\pi</math>:n likiarvoja on [[egypti]]läisen matemaatikko [[Ahmose (matemaatikko)|Ahmosen]] käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun [[Rhindin papyrus|Rhindin papyrukseen]]. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa <math>\pi</math>:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin
[[Antiikin Kreikka|Kreikkalainen]] filosofi ja matemaatikko [[Arkhimedes]] todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen [[monikulmio]]iden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen <math>3 \frac{1}{7}</math> ja <math>3 \frac{10}{71}</math> välillä.<ref>Iso tietosanakirja, 9. osa (Mustonen-Pielisjärvi), art. Pi, Otava 1935</ref> [[Klaudios Ptolemaios|Ptolemaios]] käytti <math>\pi</math>:n arvoa <math>\frac{377}{120}</math> (kolme des. oik.). [[Kiinalaiset|Kiinalainen]] [[Tsi Ch'ung-Chi]] löysi [[400-luku|400-luvulla]] <math>\pi</math>:lle arvon <math>\frac{355}{113}</math> (kuusi des. oik.), jota parempi murtolukuarvio on vasta <math>\frac{103993}{33102}</math> (yhdeksän des. oik.).
Rivi 39:
Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.
[[Alkuluku|Alkulukujen]] 7, 11, 13,
:<math> \pi = [945 ({7^6 \over 7^6 - 1} \cdot {11^6 \over 11^6 - 1} \cdot {13^6 \over 13^6 - 1} \cdot ...)]^{1 \over 6}</math>
Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5,
:<math> (1 - {1 \over 2^2})(1 - {1 \over 3^2})(1 - {1 \over 5^2}) ... = {6 \over \pi ^2} </math>
Rivi 118:
==Approksimaatioita==
* kaksi oikeaa desimaalia:
:: <math>\sqrt{2} + \sqrt{3} = 3
:: <math>\sqrt{15} - \sqrt {3} + 1 = 3
* kolme oikeaa desimaalia:
::<math>\sqrt[3]{31} = 3
* kolme oikeaa desimaalia:
::<math>\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}} = 3
* [[Ramanujan]]in kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:
::<math>\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3
* neljä oikeaa desimaalia:
::<math>\frac{7^7}{4^9} = 3
* kuusi oikeaa desimaalia:
::<math>\frac{355}{113} = 3
* Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:
:: <math> \sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3})^2}} =\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3
* yhdeksän oikeaa desimaalia:
::<math>\frac{63}{25} \
* yhdeksän oikeaa desimaalia:
::<math>\sqrt[193]{\frac{10^{100}}{11222
* 17 oikeaa desimaalia:
Rivi 149:
* 29 oikeaa desimaalia:
::<math>\frac{\ln(640320^3+744)}{\sqrt{163}} = 3
* 51 oikeaa desimaalia:
| |||