Ero sivun ”Avoin ja suljettu kuvaus” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Kommettitagin lopun lisääminen. |
p fix |
||
Rivi 12:
Jos avaruudella ''Y'' on [[diskreetti topologia]] eli sen kaikki osajoukot ovat avoimia ja samalla suljettuja, jokainen kuvaus ''f'' : ''X'' → ''Y'' on sekä avoin että suljettu, olipa ''X'' mikä avaruus tahansa. Jokainen kuvaus tällaiseen avaruuteen ei kuitenkaan ole jatkuva. Esimerkiksi [[lattiafunktio]] reaalilukujen joukosta <math>\mathbb{R}</math> [[kokonaisluku]]jen joukkoon <math>\mathbb{Z}</math> on avoin ja suljettu, mutta ei jatkuva kuvaus. Tämä esimerkki osoittaa, että [[yhtenäisyys|yhtenäisen]] joukon kuva avoimessa tai suljetussa kuvauksessa ei aina ole yhtenäinen.
Jos muodostetaan topologisten avaruuksien ''X''=Π''X''<sub>''i''</sub> [[karteesinen tulo]] ja varustetaan se [[tulotopologia]]lla, luonnolliset projektiot ''p''<sub>''i''</sub> : ''X'' → ''X''<sub>''i''</sub> ovat avoimia<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Stephen Willard | Nimeke = General Topology | Julkaisija = Addison-Wesley | Vuosi = 1970 | Tunniste = ISBN 0486131785}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = John M. Lee | Nimeke = Introduction to Smooth Manifolds, 2. ed. | Sivu = 606 (ex. A. 32) | Kirjasarja = Graduate Texts in Mathematics | Numero =218 |Vuosi = 2012 | Tunniste = ISBN 978-1-4419-9982-5 |Doi = 10.1007/978-1-4419-9982-5}}</ref> ja samalla jatkuvia kuvauksia. Koska [[peitekuvaus|peitekuvaukset]] ovat lokaalisti tuloavaruuksien luonnollisia projektioita, ne ovat myös avoimia kuvauksia. Sen sijaan suljettuja projektiot eivät välttämättä ole. Esimerkkinä voidaan tarkastella projektiota ''p''<sub>1</sub> : <math>\mathbb{R}^2</math> → <math>\mathbb{R}</math> ensimmäistä komponenttia: ''A'' = {(''x'',1/''x'') : ''x''≠0} on suljettu joukossa <math>{R}^2</math>, mutta ''p''<sub>1</sub>(''A'') = <math>\mathbb{R}</math> − {0} joka ei ole suljettu
Jokaiseen [[yksikköympyrä]]n pisteeseen voidaan liittää positiivisen ''x''-akselin sekä origosta kyseiseen pisteeseen johtavan janan välinen [[kulma]]. Tällä tavoin saadaan kuvaus yksikköympyrältä [[puoliavoin väli|puoliavoimelle välille]] <nowiki>[0,2π)</nowiki>. Kuvaus on bijektio ja sekä avoin että suljettu, mutta ei jatkuva. Tämä esimerkki osoittaa, että [[kompaktius|kompaktin]] avaruuden kuva avoimessa tai suljetussa kuvauksessa ei välttämättä ole kompakti. Jos kuitenkin tämän kuvauksen maaliksi käsitetään koko <math>\mathbb{R}</math>, kuvaus ei ole [[surjektio]] eikä myöskään avoin eikä suljettu. Oleellista avoinen ja suljetun kuvauksen käsitteille onkin, mikä avaruus katsotaan kuvauksen maaliavaruudeksi.
| |||