Ero sivun ”Ordinaali” versioiden välillä

2 merkkiä poistettu ,  3 vuotta sitten
p
{{anchor|omega}}
<!-- Tämä osio on tarkoitus pitää intuitiivisena niin, että sen voi ymmärtää sekin, joka ei juuri tunne matematiikkaa. Täsmällisemmät mutta muille kuin matemaatikoille kutakuinkin käsittämättömät määritelmät kuuluvat jäljempänä oleviin osioihin.-->
[[Luonnollinen luku|Luonnollisia lukuja]], joihin tässä yhteydessä luetaan myös [[nolla]], voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista [[joukko|joukon]] suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen ''sijainti'', kun ne on asetettu peräkkäis­järjestykseen. Tavan­omaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa [[kardinaaliluku|kardinaali-]] eli perus­lukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa [[ordinaaliluku|ordinaali-]] eli järjestys­lukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) [[Matematiikka|MatemaattiikassaMatematiikassa]] näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaali­lukua vastaa yksi äärellinen ordinaali­luku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään [[isomorfismi|isomorfisia]]. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin [[kardinaaliluku]]ihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", [[mahtavuus]] eli kardinaliteetti, on yksi­käsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja [[hyvinjärjestys|hyvin­järjestää]] sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan.
 
Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin [[hyvinjärjestys|hyvin­järjestettyihin]] joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvin­järjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. hyvin­järjestetty joukko on [[täydellinen järjestysrelaatio|täydellisesti järjestetty]] joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä ''laskevaa'' sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtä­pitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä [[osajoukko|osa­joukolla]] on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvin­järjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon ''järjestys­tyypiksi''.
74

muokkausta