Ero sivun ”Projektiivinen geometria” versioiden välillä

Projek­tiivinen geo­metria on geo­metrian ei-[[metriikka (matematiikka)|metrinen]] muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietyn­laisista [[piste]]iden ja [[suora|suorien]] muodostamista kuvioista. Kun [[Girard Desargues|Desargues]] ja muut kehittivät [[perspektiivi]]oppia matemaattisesti selvittäessään projek­tiivisen geo­metrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geo­metrisesti mielen­kiintoisia tuloksia.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = S. Ramanan | Otsikko = Projective geometry | Julkaisu = Resonance | Julkaisija = Springer India | Numero = 2 | issue = 8 | Sivu = 88 | Ajankohta = elokuu 1997 | doi = 10.1007/BF02835009}}</ref> Useampi­ulotteisissa avaruuksissa käsitellään [[hypertaso]]ja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia ali­avaruuksia, joille on ominaista [[duaalisuus]]periaate. Yksin­kertai­simmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projek­tiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkaus­pisteen) osoittautuvat rakenteeltaan saman­laisiksi. Projek­tiivinen geo­metria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista [[Geometrinen konstruktiotehtävä|geo­metrisista kon­strukti­oista]], jotka voidaan suorittaa pelkän [[viivoitin|viivoittimen]] avulla.<ref name="Coxeter2003">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> Koska [[harppi|harpin]] käyttöä ei sallita, eivät projek­tiiviseen geo­metriaan kuulu [[ympyrä]]t, [[kulma]]t, etäisyyksien mittaus, suorien [[yhdensuuntaisuus]] eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä.<ref name="ReferenceAReferenceA1">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 229 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref> Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projek­tiivisessa geo­metriassa, ovat yksin­kertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset [[kartioleikkaus|kartio­leikkaukset]] ovat ekvi­valentteja kompleksisessa projek­tiivisessa geo­metriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikois­tapauksiksi.

1800-luvun alussa muun muassa [[Jean-Victor Poncelet]]'n ja [[Lazare Carnot]]'n tutkimukset tekivät projek­tiivisesta geo­metriasta itsenäisen matematiikan haaran.<ref name="ReferenceAReferenceA1" /> Sen perusteita tarkensi [[Karl von Staudt]], ja 1800-luvun lopulla italialaiset [[Giuseppe Peano]], [[Mario Pieri]], [[Alessandro Padoa]] ja [[Gino Fano]] kehittivät ne täydelliseen muotoon.<ref name="Coxeter2003-14">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 14 | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> [[Affiininen geometria|Affiinisen]] ja [[euklidinen geometria|euklidisen geo­metrian]] tavoin myös projek­tiivinen geo­metria voidaan muotoilla [[Felix Klein]]in [[Erlangenin ohjelma]]n avulla: projek­tiivista geo­metriaa luonnehtivat [[projek­tiivinen ryhmä|projek­tiivisen ryhmän]] muunnosten [[invariantti|invariantit]].

Projek­tiivinen geo­metria ja [[järjestetty geometria]] ovat perustavalla tavalla yksin­kertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä [[aksiooma|aksioomia]], ja kumpaakin voidaan käyttää [[affiini geometria|affiinin]] ja [[euklidinen geometria|euklidisen geo­metrian]] perustana.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 175–262 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 102–110 | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> projek­tiivinen geo­metria ei ole "järjestetty"<ref name="ReferenceA" />, ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geo­metrialle.

Ensimmäiset luonteeltaan projek­tiiviset geo­metriset ominaisuudet löysi 200-luvulla [[Pappos Aleksandrialainen]].<ref name="ReferenceA" /> [[Filippo Brunelleschi]] (1404–1472) aloitti [[perspektiivi]]n geo­metrian tutkimisen vuonna 1425.

Jokainen geometria voidaan johtaa asianmukaisesta joukosta [[aksiooma|aksioomeja]]. Projektiivisille geometrioille tyypillinen on "elliptinen paralleeliaksiooma": ''mitkä tahansa kaksi tasoa leikkaavat toisensa yhdellä suoralla'', tai tasolla: "mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä''. Toisin sanoen projektiivisessa geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria tai yhdensuuntaisia tasoja. Projektiiviselle geometrialle on esitetty monia vaihtoehtoisia aksioomajärjestelmiä.<ref name="Coxeter2003-.14-15">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 14-15 |Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = D. Hilbert, Cohn-Vossen | Nimeke = Geometry and the imagination, 2. painos | Julkaisija = Chelsea | Vuosi = 1999}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = M. J. Greenberg | Nimeke = Euclidean and non-Euclidean geometries, 4. painos | Julkaisija = Freeman | Vuosi = 2007}}</ref>

Näihin voidaan lisätä muita aksioomia, jotka rajoittavat koordinaattirenkaan ulottuvuutta. Esimerkiksi Coxeterin teoksessa ''Projektiivinen geometria''<ref name="Coxeter2003-14" /> viitataan Veblenin teokseen, jossa esiintyvät nämä kolme aksioomaa,<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Oswald Weblem, J. W. A. Young | Nimeke = Projective geometry | Sivut = 16, 18, 24, 45 | Julkaisija = Ginn & Co | Vuosi = 1938 | Tunniste = ISBN 978-1-4181-8285-4 | www = http://www.archive.org/details/117714799_001}}</ref> mutta niihin lisätään vielä viisi aksioomaa, jotka kiinnittävät avaruuden kolmiulotteiseksi ja määrittävät koordinaatti­renkaan kommutatiiviseksi kunnaksi, joka karakteristika ei ole 2.