Ero sivun ”Kiihtyvyys” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Rv - johdettu matkan kaava tuntuu menneen pieleen |
Kumottu muokkaus 16811789, jonka teki Aulis Eskola (keskustelu) Merkkaukset: rv virheellinen wikikoodi |
||
Rivi 1:
{{lähteetön}}
[[Kuva:Derivaattaesim.png|right|thumb|250px|Kuvaajat vakiokiihtyvyydellä g kulkevalle kappaleelle. Matkan aika[[derivaatta]] antaa [[nopeus|nopeuden]] ja nopeuden
'''Kiihtyvyys''' (tunnus <math>\mathbf{a}</math>) on fysikaalinen [[vektori]][[suure]] (kiihtyvyydellä on suunta ja suuruus), joka kuvaa kappaleen [[nopeus|nopeuden]] muutosta tietyssä [[aika|ajassa]]. Sen yksikkö on [[SI-järjestelmä]]ssä m/s². [[Putoamiskiihtyvyys|
Kappaleen kiihtyvyys määritellään
:<math>\mathbf{\vec{a}} = \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt}\ = \frac{d''\mathbf{\vec{s}}}{d''t},</math> <ref name=":0">{{Kirjaviite|Tekijä=Hugh D. Young & Roger A Freedman|Nimeke=Fyysikko|Vuosi=2012|Sivu=94|Julkaisija=Mark Zemansky & Francis Sears}}</ref>
▲Kappaleen kiihtyvyys määritellään matemaattisesti nopeuden ensimmäisenä ja toisaalta paikan toisena [[derivaatta]]na ajan suhteen
* <math>\mathbf{\vec{s}}</math> = kappaleen siirtymävektori (voidaan ilmaista myös paikan muutosvektorina <math>\mathbf{\vec{\vartriangle p}}</math>)
* ''t'' = aika.▼
:<math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}\ = \frac{d''\mathbf{x}}{d''t},</math>▼
:<math>\mathbf{
▲missä
▲* <math>\mathbf{v}</math> = kappaleen nopeus,
▲* <math>\mathbf{x}</math> = paikka,
▲* ''t'' = aika.
Tästä huomataan, että mitä pienemmällä aikavälillä keskikiihtyvyyttä tarkastellaan, sitä tarkemmin se kuvaa todellista hetkellistä kiihtyvyyttä.
== Tasainen ja tasaisesti kiihtyvä liike ==
[[Tasainen liike|Tasaisessa]] ja [[Tasaisesti kiihtyvä liike|Tasaisesti kiihtyvässä liikeessä]] kiihtyvyys on vakio, jolloin se voidaan laskea tarkasti myös keskikiihtyvyyden yhtälöllä. Tämä johtuu siitä, että muutos nopeudessa on tasaista, jolloin kaikki tarkasteluvälit antavat saman tuloksen.
[[Tasainen liike|Tasaisessa liikeessä]] kiihtyvyys on nolla.
▲Tietyllä aikavälillä kappaleen ''keskikiihtyvyys'' on sen nopeuksien erotus aikavälin lopussa ja alussa jaettuna aikavälin pituudella:
:
▲:<math>\mathbf{a} = \frac{\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}}{t_2 - t_1}.</math>
Kun kappale on tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä (kiihtyvyys a on vakio) voidaan sen nopeus laskea eri ajan hetkinä
<math>v_2 =v_1 + a (t_2-t_1)= v_1 + at</math>
Yksiulotteisessa liikkeessä suunta voidaan unohtaa ja kiihtyvyys on suoraan nopeuden kuvaajan <math>(t{,}v)</math> tangentti. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus ajan funktiona piirrettynä antaa suoran, jonka [[kulmakerroin|kulmakertoimesta]] kiihtyvyys voidaan laskea. Kuvaaja voi olla kuitenkin monimutkaisempi, jos esimerkiksi piirretään auton nopeus ruuhkassa ajan funktiona. Tällöin kiihtyvyys ei ole vakio.▼
missä
* <math>v_2</math> on nopeus lopussa (ajanhetkellä <math>t_2</math>)
* <math>v_1</math> on nopeus alussa (ajanhetkellä <math>t_1</math>)
* <math>a</math> on kiihtyvyys (vakio)
* <math>t</math> on kulunut aika lähtötilanteesta
ja tässä ajassa se on kulkenut matkan
<math>s = v_1 (t_2 - t_1) + \frac{a (t_2^2-t_1^2)}{2}</math>
<math>s=v_1t+\frac{1}{2}a t^2</math>
* Huom! Tässä valittu jälkimmäiseen yhtälöön <math>t_1=0</math> , <math>t_2=t</math>
* <math>s</math> on siirtymä
Kyseiset tulokset voidaan johtaa määritelmästä integroinnin avulla
:<math>\mathbf{\vec{a}} = \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt}\ \parallel \int_{t_1}^{t_2} dt
</math>
:<math>\Leftrightarrow\int_{t_1}^{t_2} \vec{a} dt=\int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{\vec{v}}}{dt} dt
</math> <math>,\vec{a}</math> on vakio joten voidaan ottaa ulos integraalista
:<math>\Leftrightarrow \vec{a}\cdot sij. \int_{t_1}^{t_2} (1) dt= sij.\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t)
</math> , <math>,\vec{v}</math> on ajan funktio (sij. laitettu koska wikipedialla ei ole integraalin sijoitus merkintää käytössä)
:<math>\Leftrightarrow \vec{a} \cdot(t_2-t_1)= \vec{v}(t_2)-\vec{v}(t_1)</math>
:<math>{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {v}}(t_{2})={\vec {v}}(t_{1})}+ {\vec {a}}\cdot (t_{2}-t_{1})</math> merkitään <math>t_1=0</math> , <math>t_2=t</math>
:<math>{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {v}}(t_{})={\vec {v}}(0)}+ {\vec {a}}\cdot t</math>
:Tästä voidaan edelleen jatkaa integroimalla nopeutta ajan suhteen. (nopeuden määritelmä <math>,\vec{v}=\frac{d\mathbf{\vec{p}}}{dt} </math>)<ref name=":0" />
:<math>\int_{t_1}^{t_2} \vec{v}(t){dt}=\int_{t_1}^{t_2} \frac{d\mathbf{\vec{p}}}{dt}dt </math>, sijoitetaan <math>\vec{v}(t_2)</math> äskeisestä yhtälöstä
:<math>\int_{t_1}^{t_2} (\vec{v}(0)+\vec{a}t){dt}}=sij.\int_{t_1}^{t_2} {\mathbf{\vec{p}(t)} </math> , <math>\vec{v}(0)</math> ja <math>\vec{a}</math> vakioita
:<math>\vec{v}(t_1)\int_{t_1}^{t_2}(1) +\vec{a}\int_{t_1}^{t_2}(t){dt}}=sij.\int_{t_1}^{t_2} {\mathbf{\vec{p}(t)} </math>
:<math>\vec{v}(0)(t_2-t_1)+\frac{\mathbf{1}}{2}\vec{a}(t_2^2-t_1^2)=\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1) </math>, merkitään paikan muutosta siirtymällä <math>\vec{p}(t_2)-\vec{p}(t_1)=\vec{s}</math> ja <math>t_1=0</math> , <math>t_2=t</math>
:<math>\vec{v}(0)t+\frac{\mathbf{1}}{2}\vec{a}t^2=\vec{s} </math>
=== Graafinen tulkinta ===
▲Yksiulotteisessa liikkeessä suunta voidaan unohtaa ja kiihtyvyys on suoraan nopeuden kuvaajan <math>(t{,}v)</math> tangentti. Tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä nopeus ajan funktiona antaa piirrettynä
== Kiihtyvyys ympyräliikkeessä ==
Kiihtyvyys [[ympyräliike|ympyräliikkeessä]] voidaan jakaa kahteen komponenttiin, kappaleen tangentin suuntaiseen ''tangentiaalikiihtyvyyteen,'' sekä sitä vastaan kohtisuoraan (säteen suuntaiseen) ''normaalikiihtyvyyteen''. Molempia suureita tarkasteltaessa tärkeiksi työkaluiksi tulee kulma <math>\theta</math>, kulmanopeus (<math>\omega</math>) ja [[kulmakiihtyvyys]] (<math>\mathbf{\alpha}</math>). Kulmakiihtyvyys voidaan määrittää vastaavasti kuin kiihtyvyys kulmanopeuden ensimmäisenä ja toisaalta kulman muutoksen toisena [[derivaatta]]na ajan suhteen
▲
Tangenttikiihtyvyys ja normaalikiihtyvyys voidaan ilmoittaa <math>\omega</math>, <math>\mathbf{\alpha}</math> ja ympyrän säteen <math>r</math> avulla:
<math>\mathbf{a_t}=\mathbf{\alpha}\cdot r</math> ja <math>\mathbf{a_n}=\mathbf{\omega^2}\cdot r</math>
Kiihtyvyys voi vaikuttaa sekä sekä kappaleen vauhdin suuruuteen, että suunnan muutokseen. Jos tangentiaalikiihtyvyys on ympyräradalla kulkevan kappaleen nopeuden suuntainen, kappaleen vauhti kasvaa; jos se taas on vastakkaissuuntainen, liike hidastuu. Normaalikiihtyvyys taas vaikuttaa ympyräradan jyrkkyyteen eli siihen kuinka nopeasti kappaleen suunta muuttuu. Mitä suurempi normaalikiihtyvyys on, sitä pienemmällä ympyräradalla kappale liikkuu. Jos normaalikiihtyvyys putoaa nollaan kappale poistuu ympyräradalta ja jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä, ellei siihen vaikuta muita kiihtyvyyksiä.
== Kiihtyvyys törmäyksissä ==
Rivi 42 ⟶ 84:
== Kiihtyvyys ja dynamiikan peruslaki ==
[[Dynamiikan peruslaki|Dynamiikan II. peruslain]] mukaan
<math>\sum\vec{F}=m\vec{a}</math> , kun m on vakio
== Katso myös ==
| |||