Ero sivun ”Momenttifunktio” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
→Momentteja: korj |
|||
Rivi 1:
'''Momenttifunktio''' <ref name=liski77/> eli '''momentit generoiva funktio''' <ref name=liski77/> eli '''momenttiemäfunktio''' <ref name=oulu/> on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] ja [[tilastotiede|tilastotieteessä]] [[satunnaismuuttuja]]n [[todennäköisyysjakauma|jakaumasta]] määritelty [[funktio]], joka on yleinen menetelmä laskea jakauman [[tunnusluku]]ja eli [[Momentti (tilastotiede)|momentteja]]. [[Diskreetti satunnaismuuttuja|Diskreetin jakauman]] momenttifunktio muodostetaan [[pistetodennäköisyysfunktio]]n ja [[Jatkuva satunnaismuuttuja|jatkuvan jakauman]] momenttifunktio [[tiheysfunktio]]n avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.<ref name=liski77/>
Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti [[Riippumattomuus|riippumattomien]] satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan [[kompleksiluku
== Määritelmä ==
Rivi 12:
Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla
:<math>M(t)=E[e^{tX}]=\int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\, \mathrm{d}x .</math>
Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin [[eksponenttifunktio]] voidaan avata [[Taylorin sarja]]ksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet
Rivi 43:
Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää ''tavallisia momentteja'' <math>E[X^r]</math> eli ''origomomentteja'' sekä ja ''keskusmomentteja'' <math>E[(X-\mu)^r],</math> missä <math>\mu = E[X].</math> Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös ''tekijämomentteja'', jotka määritellään <math>E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)...(X-r+1)].</math> <ref name=liski77/>
Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun [[Derivaatta|derivaattojen]] arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan <math>X</math> r. origomomentit: <math>M(0)^{(r)}=E[X^r].</math> Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):
* <math>M(t)=E[e^{tX}]</math>, jolloin <math>M(0)=E[e^{0\cdot X}]=E[1]=1</math>
* <math>M'(t)=E[Xe^{tX}]</math>, jolloin <math>m_1=M'(0)=E[Xe^{0\cdot X}]=E[X]</math>
Rivi 58:
:<math>M_{XY}(0,t_Y)=E[e^{0 \cdot X+t_YY}]=E[e^{t_YY}]=M_Y(t_Y)</math> <ref name=b/>
ja arvolla <math>t_Y=0</math> saadaan satunnaismuuttujan <math>X</math> momenttifunktio <math>M_X(t_X).</math>
Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:
:<math>\frac{\partial}{\partial t_X} M_{XY}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[X] \,</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial t_Y} M_{XY}(t_X,t_Y)|_{t_X=t_Y=0}=E[Y] \,</math>
Rivi 82:
* <ref name=liski151>Liski, Erkki: [http://www.sis.uta.fi/tilasto/liski-arkisto/mtt06/Luennot06/Luku5.pdf Luku 5 Jatkuvat jakaumat], s.151−160, luennosta [http://www.sis.uta.fi/tilasto/liski-arkisto/mtt06/Luennot06/ Matemaattinen tilastotiede], Tampereen yliopisto, 2005</ref>
* <ref name=liski94>Liski, Erkki: [http://www.sis.uta.fi/tilasto/liski-arkisto/mtt06/Luennot06/Luku3.pdf Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus], s.94, luennosta [http://www.sis.uta.fi/tilasto/liski-arkisto/mtt06/Luennot06/ Matemaattinen tilastotiede], Tampereen yliopisto, 2005</ref>
* <ref name=MomentGeneratingFunction>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Moment-GeneratingFunction.html | Nimeke = Moment-Generating Function | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World
* <ref name=mit14_1>Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: [http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2008/lecture-notes/MIT6_436JF08_lec14.pdf Moment generating functions], luentomoniste "[http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2008/# 6.436J Fundamentals of Probability]", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 1−3, 2008</ref>
* <ref name=mit14_3>Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: [http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2008/lecture-notes/MIT6_436JF08_lec14.pdf Moment generating functions], luentomoniste "[http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-436j-fundamentals-of-probability-fall-2008/# 6.436J Fundamentals of Probability]", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 4−8, 2008</ref>
| |||