Ero sivun ”Kehäkulma” versioiden välillä

'''Kehäkulma''' on [[geometria]]ssa [[ympyrä]]än liittyvä [[kulma]]. Ympyrän [[kehä]]ltä valitaan kolme [[piste (geometria)|pistettä]] '''A''', '''B''' ja '''P''', joista '''P''':sta piirretään [[jänne|jänteet]] '''PA''' ja '''PB'''. Jänteiden '''PA''' ja '''PB''' välistä kulmaa <math>\scriptstyle \measuredangle APB</math> nimitetään kehäkulmaksi. Koska kulman määrittäminen kahden pisteen avulla jättää kaksi vaihtoehtoista tulkintaa, sidotaan keskuskulma usein ympyrän [[ympyrän kaari|kaareen]] tai sitä vastaavaan [[jänne|jänteeseen]].<ref name=InscribedAngle/>

 

Kehäkulmalauseella on yksinkertaisuudestaan huolimatta merkittävä asema [[Euklidinen geometria|Euklidiseen geometriassa]], jossa sen ominaisuuksia käytettiin paljon todistamisessa. Esimerkiksi, kun kaksi ympyrän jännettä leikkaavat toisensa, voidaan kehäkulmalauseella osoittaa, että jänteiden osien tulo on vakio. Myös tunnettu tulos, jossa [[jännenelikulmio]]n vastakkaisten kulmien summa on 180°, saadaan kehäkulmalausella pääteltyä helposti.<ref name=mathalino/>

 

Viimeinen huomautus nähdään yllä olevasta kuvasta. Kaari ADC vastaavat keskuskulma α ja kehäkulma β. Kaarta CBA vastaavat keskuskulma θ ja kehäkulma ψ. Koska θ = 360° - α, ovat kehäkulma puolet tästä eli ψ = 1/2·θ = 1/2·(360° - α) = 180° - α/2 = 180° - β. Täten vastakkaiset kulmat ovat [[suplementtikulma]]t eli ψ = 180° - β.

 

 

=== Kehäkulman jänne ja sektorin säde ovat päällekkäin ===

Tutkimalla kuviota huomataan, että

* kehäkulma on <math>\scriptstyle \measuredangle BVA</math> ja keskuskulma on <math>\scriptstyle \measuredangle BOA</math>.

 

=== Keskuskulma mahtuu kokonaan kehäkulman sisälle ===

Piirretään kehäpisteestä '''V''' keskipisteen '''O''' kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen '''E'''. Jana '''VE''' jakaa kaaren '''DC''' osiin '''DE''' ja '''EC'''. Huomataan, että

* kaarta '''EC''' vastaavat keskuskulma <math>\scriptstyle \measuredangle EOC</math> ja kehäkulma <math>\scriptstyle \measuredangle EVC</math>. Tilanne on sama kuin todistuksen ensimmäisessä osassa, jolloin kehäkulman jänne ja sektorin säde olivat päällekkäin. Sen perusteella <math>\scriptstyle \theta_2 \, = \, 2 \psi_2</math>.

 

=== Keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle ===

Piirretään kehäpisteestä '''V''' keskipisteen '''O''' kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen '''E'''. Jana '''VE''' osuu kaaren '''DC''' viereen muodostaen kaaret '''ED''' ja '''EC'''. Huomataan, että

* kaarta '''EC''' vastaavat keskuskulma <math>\scriptstyle \measuredangle EOC</math> ja kehäkulma <math>\scriptstyle \measuredangle EVC</math>. Silloin, kun vedotaan uudestaan todistuksen ensimmäiseen osaan, on <math>\scriptstyle \theta_0 \, = \, 2 \psi_0</math>.

== Lähteet ==

{{viitteet|viitteet=

* <ref name=eukleides_3_20>Eukleides: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII20.html Elementa, Book 3, Prop. 20, D.E.Joyce: Clark University, 1996]</ref>

* <ref name=eukleides_3_21>Eukleides: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII21.html Elementa, Book 3, Prop. 21, D.E.Joyce: Clark University, 1996]</ref>

* <ref name=eukleides_3_22>Eukleides: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html Elementa, Book 3, Prop. 22, D.E.Joyce: Clark University, 1996]</ref>

* <ref name=eukleides_3_33>Eukleides: [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII33.html Elementa, Book 3, Prop. 33, D.E.Joyce: Clark University, 1996]</ref>

* <ref name=mathalino>MATHalino: [http://www.mathalino.com/reviewer/plane-geometry/relationship-between-central-angle-and-inscribed-angle Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle]</ref>

}}