Ero sivun ”Funktion toispuoleinen raja-arvo” versioiden välillä

'''Funktion toispuoleinen raja-arvo''' on [[matematiikka|matematiikassa]] [[Analyysi (matematiikka)|analyysi]]n ja [[Differentiaali- ja integraalilaskenta|differentiaali- ja integraalilaskennan]] peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien [[muuttuja (matematiikka)|yhden muuttujan]] [[funktio|funktioiden]]iden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi [[funktion raja-arvo]]n yläkäsitteestä, ''funktion toispuoleisella raja-arvoilla'' tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen ''toisella puolella'' eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio ''suppenee'' (muutoin ''hajaantuu'') toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, [[suunnattu raja-arvo|suunnattua raja-arvoa]], missä lähestymissuunnat voidaan valita [[Vektori|suuntavektorin]] vastakkaisista suunnista.

Siis, valittiinpa positiivinen luku <math>\epsilon</math> kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku <math>\delta</math> siten, että kaikilla korkeintaan <math>\delta</math>:n etäisyydellä olevilla luvuilla <math>x</math> ovat funktion <math>f(x)</math> arvot korkeintaan <math>\epsilon</math>:n etäisyydellä raja-arvosta ''L''. Toistamalla <math>\epsilon</math>:n pienentämisen, tulisi myös <math>\delta</math> pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun <math>\delta</math>:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun <math>\epsilon</math>.<ref name=EpsilonDeltaDefinition/>

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen ''x'' ja ''p'' erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, ''x'' lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Raja-arvon ''L'' yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.<ref name=hs_32/><ref name=ps7_38/><ref name=py7_59/>

Funktion [[toispuoleinen derivaatta|toispuoleiset derivaatat]] määritellään funktion [[Erotusosamäärä|erotusosamääränerotusosamäärä]]n toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion [[derivaatta]] olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.<ref name=py7_124/><ref name=ps7_188/>

* {{Kirjaviite | Nimeke = Pitkä Sigma 7 | Julkaisija = Sanoma Pro | Vuosi = 2014 | Tekijä = Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika | Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka = Helsinki | Isbn = 978-952-63-0307-9 | Viitattu = 15.9.2014 }}

* <ref name=bd>{{Kirjaviite | Nimeke = The History of Mathematics: An introduction | Julkaisija = McGraw–Hill | Vuosi = 1997 | Tekijä = Burton, David M. | Sivut = 558–559 | Julkaisupaikka = New York | Tunniste = | Isbn = 0-07-009465-9 | Viitattu = 26.9.2014 | Kieli = {{en}} }} </ref>

* <ref name=EpsilonDeltaDefinition>{{Verkkoviite | Osoite = http://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html | Nimeke = Epsilon-Delta Definition | Tekijä = Barile, Margherita | Selite =Math World -– A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>