Ero sivun ”Poincarén otaksuma” versioiden välillä

'''Poincarén otaksuma''' eli '''Poincarén konjektuuri''' on puhtaasti [[matematiikka|matemaattinen]] [[konjektuuri|otaksuma]], jonka mukaan jokainen [[kompaktius|kompakti]] [[yhdesti yhtenäinen]]<ref>''Jos monitahokkaassa ei ole aukkoja, se on yhdesti yhtenäinen'' [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/monitaho1.html ''monitahokas'']</ref> n-[[monisto]] on [[homeomorfisuusHomeomorfismi|homeomorfinen]] n-pallon kanssa.

Poincarén otaksuma liittyy [[topologiaTopologia (matematiikka)|topologiaan]]an, jossa tutkitaan pintojen samankaltaisuutta. Otaksumassa on kysymys siitä, ovatko tietyn tyyppiset pinnat perusrakenteeltaan samanlaisia kuin pallon pinta.<ref>[http://tiede.kampanjat.net/uutiset/uutinen.php?id=819 Tiede.fi]</ref> Otaksuman mukaan tiettyjä n-ulotteisen pallon ominaisuuksia omaava [[monisto]] onkin n-ulotteinen pallo.<ref>[http://www.helsinki.fi/~mtlehtin/hist16.pdf Matematiikasta 1900-luvulla] PDF</ref>

{{sitaatti|Jos suljetulla, yhtenäisellä 3-monistolla M jokainen ympyrä voidaan deformoida pisteeksi, niin M on [[homeomorfinen]] 3-pallon kanssa.|- Poincarén otaksuman kolmiulotteinen tapaus.<ref>[http://tiede.kampanjat.net/uutiset/uutinen.php?id=819 Sitaatti: ''Teknillisen korkeakoulun matemaatikko Kirsi Peltonen'']</ref>}}

[[Henri Poincaré]] päätteli vuonna 1900, että missä tahansa ulottuvuudessa yksinkertaisin kappale on aina tasainen pallo ilman koloja. Yksiulotteisessa se on [[Piste (geometria)|piste]], kaksiulotteisessa [[ympyrä]], kolmiulotteisessa [[Pallo (geometria)|pallo]] jneja niin edelleen.<ref name=ABC>http://www.abc.net.au/catalyst/stories/s1860445.htm Catalyst: Poincare’s Conjecture</br>Youtube: watch?v=TzMZKiCgEVE</ref> Konjektuurissa on kyse todistaatämän tämätodistamisesta ''kaikille'' ulottuvuuksille. Sen teki [[Grigori Perelman]] vuonna 2002 erikoistapauksena [[Thurstonin geometrisointiotaksuma]]sta.

[[KuvaTiedosto:P1S2all.jpg|thumb|350px|Jos kaksiulotteisessa kompaktissa kappaleessa jokainen silmukka voidaan vetää esteettä yhteen pisteeseen, silloin kappaleen pinta on topologisesti homeomorfinen pallopinta. Konjenktuuri otaksuu saman olevan totta ''kaikkien'' 3- ja useampiulottuvuuksisten kappaleiden kanssa.]]

Tapaukset n=0 tai n=1 ovat triviaaleja, n=2 on klassinen, n=3 Perelmanin todistama, n=4 todisti Freedman vuonna [[1982]] (ja sai todistuksestaan vuoden [[1986]] [[Fieldsin mitali]]n), n=5 todisti Zeeman vuonna 1961, n=6 todisti Stalling vuonna [[1962]] ja tapaukset n>6 Smale vuonna 1961. Smale onnistui kuitenkin myöhemmin löytämään uuden todistuksen tapauksille n>4.

Poincarén otaksuma kuuluu niin sanottuihin [[Clay-instituutti Mathematics Institute|Clay-Instituutininstituutin]] niin sanottuihin Millennium-ongelmiin eli miljoonan dollarin ongelmiin]]. Instituutti nimittäin lupasi ensimmäisestä oikeasta todistuksesta tai [[Vastaesimerkki|vastaesimerkistä]] miljoona Yhdysvaltain dollaria. Huhtikuussa 2002 Dunwoody esitti lauseelle lupaavan oloisen todistusyrityksen, josta löytyi kuitenkin virhe. Perelman onnistui kuitenkin todistuksessaan, ja nykyään Perelmanin todistusta pidetään oikeana. Matematiikassa on kuitenkin tapana tutkia huolella ja kauan kuuluisten ongelmien lupaavilta tuntuvia ratkaisuyrityksiä.

Poincarén otaksumasta saattaa tulla ensimmäinen ratkaistu [[Clay-instituutti|Millennium-ongelma]]. Loppuvuodesta 2002 [[Grigori Perelman]]in [[Steklovin matematiikan instituutista]] huhuttiin löytäneen todistuksen. Hänen otaksuttiin todistaneen myös yleisemmän otaksuman, [[Thurstonin geometrisointiotaksuma]]n, joka näin ollen viimeistelisi [[Richard Hamilton (matemaatikko)|Richard Hamiltonin]] alulle paneman työn. Vuonna 2003 Perelman teki aiheesta julkaisun ja antoi aiheesta sarjan luentoja Yhdysvalloissa. Useiden vuosien ja matemaatikkojen yhteistyön ansiosta matemaatikot totesivat Perelmanin todistuksen oikeaksi. Kesäkuussa 2006 [http://www.ims.cuhk.edu.hk/~ajm/ ''Asian Journal of Mathematics]'' julkaisi [[Cao Huaidong]]in ([[LehighinLehigh’n yliopisto]], [[Pennsylvania]]) ja [[Zhu Xiping]]in ([[Zhongshanin yliopisto]], [[Kiina]]) paperin, jossa oli täydennetty Perelmanin tuloksia. Julkaisun on varmistanut oikeaksi muun muassa [[Fieldsin mitali]]sti [[Shing-Tung Yau]].