Wikipedia

Ero sivun ”L’Hôpitalin sääntö” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][katsottu versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p kh
kh, lähteeton
Rivi 1:
{{Lähteetön|Vain yksi lähde, voi olla vaikka ihan p:stä ja omaa tutkimusta.}}
[[Kuva:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|[[Guillaume de l’Hôpital]], jonka mukaan l’Hôpitalin sääntö on nimetty.]]
[[File:Johann Bernoulli.jpg|thumb|[[Johann Bernoulli]], jonka uskotaan kehittäneen l’Hôpitalin säännön.]]
'''L’Hôpitalin sääntö''' (myösjoskus virheellisesti: '''l’Hospitalin''') on 1600-luvun lopulla kehitetty, ranskalaisen matemaatikon [[Guillaume de l’Hôpital|Guillaume de l’Hôpitalin]] mukaan nimetty [[matematiikka|matemaattinen]] menetelmä, jossa käytetään [[derivaatta|derivaattaa]] apuna laskettaessa [[epämääräinen muoto|epämääräistä muotoa]] olevia [[raja-arvo|raja-arvoja]] laskettaessa käytetään apuna [[derivaatta|derivaattaa]]. L’Hôpital julkaisi säännön vuonna 1696 kirjassaan ''Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes'' vuonna 1696. L’Hôpitalin säännön on itse asiassa kehittänyt l’Hôpitalin opettaja, sveitsiläinen matemaatikko [[Johann Bernoulli]] <ref>{{Kirjaviite | Tekijä=Boyer, Carl | Nimeke=Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osa 2 | Selite=(A history of mathematics) | Suomentaja = Kimmo Pietiläinen | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Art House | Vuosi=1994 | Sivut =592–594 | Tunniste=ISBN 951-884-150-0}}</ref>. L’Hôpital ja Bernoulli kirjoittivat sopimuksen, jonka mukaan l’Hôpital sai korvausta vastaan käyttää Bernoullin matemaattisia tuloksia vapaasti omissa nimissään.
 
Olkoot [[funktio]]t <math>\scriptstyle f</math> ja <math>\scriptstyle g</math> [[Jatkuva funktio|jatkuvia]] ja [[derivaatta|derivoituvia]] välillä <math>\scriptstyle A\smallsetminus\{a\}</math>, missä <math>\scriptstyle A</math> on avoin väli, joka sisältää pisteen <math>\scriptstyle a</math>.
Rivi 14 ⟶ 15:
</math>
 
Sääntöä voidaan soveltaa useita kertoja peräkkäin, mutta säännön soveltamisen ehdot on tarkastettava tällöin uudelleen joka sovelluskerralla uudelleen. Sääntö mm.muun muassa helpottaa raja-arvojen laskemista, kun funktioiden derivaattojen raja-arvot on helpompi laskea kuin itse funktioiden, etenkin kun derivaattojen arvot pisteessä <math>\scriptstyle a</math> poikkeavat nollasta. Sääntö voidaan laajentaa myös koskemaan toispuoleisia sekä äärettömiä raja-arvoja.
 
 
==l’Hôpitalin säännön todistus==
Rivi 52:
:Vaikka tämä raja-arvo onkin oiva esimerkki lauseen käytöstä, se sisältää [[kehäpäätelmä]]n. Tätä tulosta käytetään [[Trigonometrinen funktio|sinifunktio]]n derivoimissäännön johdossa, joten l’Hopitalin sääntö ei ole todistusvoimainen kyseisen raja-arvon kohdalla. Lauseen käytön kuvaamisessa se on kuitenkin klassinen esimerkki.
 
* Esimerkki tilanteesta, jossa osamäärä on epämääräistä muotoa <math>0/0</math>. L’Hôpitalin säännön soveltaminen ensimmäisen kerran antaa yhä epämääräistä muotoa olevan raja-arvon. Tämä saadaan kuitenkin laskettualasketiksi soveltamalla sääntöä yhteensä kolme kertaa:
 
::<math>
Rivi 85:
 
===Ongelmatapauksia===
*Ennen l’Hôpitalin säännön käyttämistä on tärkeää tarkistaa, että osamäärä on varmasti epämääräistä muotoa. Tämä unohtuu helposti, jos l’Hôpitalin sääntöä käytetään useasti peräkkäin raja-arvoa laskettaessa useita kertoja peräkkäin. Lasketaan raja-arvo
::<math>
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x+x^2}
Rivi 137:
</math>
 
==ViitteetLähteet==
{{Viitteet}}
 
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/L’Hôpitalin_sääntö”