Versio 7. kesäkuuta 2013 kello 10.30 muokkaa Addbot (keskustelu \| muokkaukset) automaattiseulotut käyttäjät 279 916 muokkausta p Botti poisti 1 Wikidatan sivulle d:q579262 siirrettyä kielilinkkiä ← Vanhempi muutos		Versio 20. heinäkuuta 2015 kello 13.12 muokkaa kumoa Boehm (keskustelu \| muokkaukset) 45 muokkausta p typog Uudempi muutos →
Rivi 4: Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin määritelmä on :<math>\~~textrm~~operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math> == Virhefunktion ominaisuuksia == Virhefunktio on [[pariton funktio]] :<math>\~~textrm~~operatorname{erf}(-x) = -\~~textrm~~operatorname{erf}(x)\,</math> ja jos funktion argumentti on [[kompleksiluku]], [[kompleksikonjugaatti\|kompleksikonjugaatille]] on voimassa :<math>\~~textrm~~operatorname{erf}(z^) = (\~~textrm~~operatorname{erf}(z))^\,</math>. Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua [[alkeisfunktio]]iden avulla, mutta sitä vastaava [[Taylorin sarja]] on Rivi 21: Sille voidaan esittää myös approksimaatio [[asymptoottinen sarja\|asymptoottisen sarjan]] avulla. Virhefunktion ensimmäinen [[derivaatta]] seuraa välittömästi määritelmästä :<math>\frac{d}{dx}\~~textrm~~operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}</math> ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla :<math>\frac{d^n}{dx^n}\~~textrm~~operatorname{erf}(x) = (-1)^{n-1}\frac{2}{\sqrt{\pi}}H_{n-1}(x)e^{-x^2}</math>, missä <math>H_k(x)</math> on <math>k</math>:s [[Hermiten polynomi]]. Virhefunktiolla on myös [[integraali]] :<math>\int \~~textrm~~operatorname{erf}(x) dx = x\;\~~textrm~~operatorname{erf}(x) + \frac{e^{x^2}}{\sqrt{\pi}}</math> '''Virhefunktion käänteisfunktio''' voidaan esittää [[sarja (matematiikka)\|sarjakehitelmänä]] :<math>\~~textrm~~operatorname{erf}^{-1}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{2n+1}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right)^{2n+1}</math>, missä Rivi 44: :<math>erf (x) = 2 \Phi(x) - 1</math>, :<math>\Phi(x) = \frac {\operatorname{erf}(x) + 1}{2}</math>. Molempien funktioiden [[raja-arvo]], kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta :<math> \lim_{x \to -\infty} \Phi(x) = 0</math>, kun taas :<math> \lim_{x \to -\infty} \operatorname{erf}(x) = -1</math> Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfuntio arvon 1/2. Rivi 56: Virhefunktion komplementti määritellään :<math>\~~textrm~~operatorname{erfc}(x) = 1 - \~~textrm~~operatorname{erf}(x)\,</math> tai yhtäpitävästi integraalina :<math>\~~textrm~~operatorname{erfc}(x) = \int_{x}^{\infty}e^{t^2}\,\mathrm dt</math>. ja se toteuttaa [[differentiaaliyhtälö]]n Rivi 68: Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa :<math>\frac{d}{dx}\~~textrm~~operatorname{erfc}(x) = -\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}</math> ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia :<math>\int \~~textrm~~operatorname{erfc}(x) dx = x\;\~~textrm~~operatorname{erfc}(x) - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}</math> == Aiheesta muualla ==

Ero sivun ”Virhefunktio” versioiden välillä