Ero sivun ”Satunnaismuuttuja” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ak: Ohjaus sivulle Todennäköisyysteoria#Satunnaismuuttuja |
artikkeli ohjauksen tilalle |
||
Rivi 1:
'''Satunnaismuuttuja''' <ref name=ala3/> ({{k-en|random variable}} <ref name=RandomVariable/>) eli '''stokastinen muuttuja''' <ref name=kivela6/> on [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennan]] peruskäsite, joka tarkoittaa [[satunnaisilmiö]]n määräämää ''lukua''. Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan [[satunnaisilmiö]]n [[perusjoukko (todennäköisyys)|perusjoukko]], on satunnaismuuttuja [[funktio]], joka liittää jokaiseen perusjoukon [[alkeistapaus|alkeistapaukseen]] <math>\scriptstyle \omega</math> [[reaaliluku|reaaliluvun]]. Funktion <math>\scriptstyle X(\omega)</math> tulee kuitenkin olla [[mitallinen funktio]]. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti <math>\scriptstyle \omega</math> merkitsemättä eli kirjoitetaan <math>\scriptstyle X(\omega)=X</math>.<ref name=ala3/><ref name=hr/><ref name=RandomVariable/><ref name=hs/>
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.<ref name=hr/>
Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi <math>\scriptstyle X</math>). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi <math>\scriptstyle \underline{x}</math>) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten '''''x'''''). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi <math>\scriptstyle X=3</math>.<ref name=kivela6/><ref name=etalukio1/>
== Esimerkkejä satunnaismuuttujista ==
=== Diskreetit satunnaismuuttujat ===
Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on <math>\scriptstyle \Omega=\{kruuna,klaava\}</math> ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja <math>\scriptstyle X</math> määrittelemällä esimerkiksi:
:<math>X(\omega) =
\begin{cases}
+1, & \mbox{jos }\omega \mbox{ on kruuna} \\
-1, & \mbox{jos }\omega \mbox{ on klaava}
\end{cases}</math>
Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista <math>\scriptstyle (m,n),</math> joista muodostetaan satunnaismuuttuja <math>\scriptstyle Y</math>: <math>\scriptstyle \{(m,n) \in \Omega | Y(m,n)=m+n\}.</math> Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin <math>\scriptstyle \{2,3,4,...,12\}.</math> Nämä esimerkit olivat ''yksinkertaisia satunnaismuuttujia'', koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.<ref name=kivela6/>
Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan <math>\scriptstyle Z</math> arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin <math>\scriptstyle Z=\{0,1,2,3,...\}.</math>
=== Jatkuvat satunnaismuuttujat ===
Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi <math>\scriptstyle (x,y) \in \Omega</math>. Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja <math>D</math> siten, että <math>\scriptstyle D(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},</math> kun origo on napakympissä, saadaan [[Borel-joukko]] niistä <math>\scriptstyle d</math>-säteisistä ympyrälevyistä, missä <math>\scriptstyle \{D \le d\}=\{(x,y) \in \Omega|D(x,y) \le d\}.</math> Satunnaismuuttuja saa silloin arvot <math>\scriptstyle [0,\infty).</math> <ref name=kivela6/>
Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä <math>\scriptstyle [a,b]</math>, puoliavoimelta väleiltä <math>\scriptstyle [a,b )</math> tai <math>\scriptstyle (a,b]</math> taikka avoimelta väliltä <math>\scriptstyle (a,b)</math>, missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.<ref name=kivela_j2/>
== Matemaattinen määritelmä ==
Satunnaismuuttuja <math>X</math> on [[mitallinen funktio]] <math>\scriptstyle X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>, missä määrittelyjoukko <math>\scriptstyle \Omega</math> on todennäköisyyslaskennassa käytettävä [[perusjoukko]] ja funktion [[arvojoukko|arvojoukkona]] ovat [[reaaliluku|reaaliluvut]]. Jos siis alkeistapaus <math>\scriptstyle \omega</math> oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo <math>\scriptstyle X(\omega)</math>yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko <math>\scriptstyle M \subset \mathbb{R}</math>. Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin <math>\scriptstyle \{\omega : X(\omega) \in M\}.</math> Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena <math>\scriptstyle X^{-1}(M).</math><ref name=hr/><ref name=emet/>
Funktio tulee olla mittallinen eli <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>-mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu [[sigma-algebra]]an <math>\scriptstyle \mathcal{F}</math>. Vain silloin <math>\scriptstyle X^{-1}(M)</math> on varmasti tapahtuma eli <math>\scriptstyle \{\omega : X(\omega) \in M\} \in \mathcal{F}</math>, joka kuuluu aina Borel-joukkoon.<ref name=hr/><ref name=emet/>
Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta <math>\scriptstyle (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> mitta-avaruuteen <math>\scriptstyle (\Omega',\mathcal{F}').</math> <ref name=RandomVariable/><ref name=sottinen19/>
== Todennäköisyysjakauma ==
{{Pääartikkeli|[[Todennäköisyysjakauma]]}}
[[Tiedosto:Fair dice probability distribution.svg|thumb|350px|Nopan silmäluvut ovat luvut 1-6 ja niiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki yhtä suuret.]]''Todennäköisyysjakauma'', usein yksinkertaisesti vain ''jakauma'', määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan vielä sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.
=== Todennäköisyysfunktiot ===
[[Tiedosto:Dice Distribution (bar).svg|thumb|350px|Kahden nopan silmälukujen summan jakaumafunktion pistetodennäköisyydet jakautuvat kuvaajan mukaisesti.]][[Todennäköisyysfunktio]]t ovat diskreettisellä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.
==== Diskreetit satunnaismuuttujat ====
Diskreettisten satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon <math>\scriptstyle X=x_i</math> liitetään todennäköisyyden arvo <math>p_i</math>. Usein käytetty merkintätapa on
:<math>P(X=x_i)=p_i.</math>
Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös [[pistetodennäköisyys|pistetodennäköisyyksiksi]].<ref name=kivela_j1/><ref name=etalukio1/>
Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi <math>\scriptstyle \{2,3,4,5,...,10,11,12\}.</math> Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa: <math>\scriptstyle P(X=2) \, =P(X=12)=\frac{1}{36}</math> ja <math>\scriptstyle P(X=7)=\frac{1}{6}.</math><ref name=kivela_j1/>
Todennäköisyyslajauman todennäköisyyksien summa
:<math>\Sigma p_i=1</math>
tulee aina olla yksi. <ref name=kivela_j1/>
[[Tiedosto:Gauss dichtefunktion.svg|thumb|350px|Esimerkki jatkuvasta satunnaismuuttujan tiheysfunktiosta <math>\scriptstyle \phi(x)</math> on [[normaalijakauma]]n kuvaaja.]]
==== Jatkuvat satunnaismuuttujat ====
Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on [[tiheysfunktio]] <math>\phi(x)</math>, joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja ja muualla se saa arvokseen nolla. Se ei voi saada missään negatiivisia arvoja.<ref name=kivela_j2/><ref name=etalukio2/>
[[Tiedosto:DisNormal10.svg|thumb|350px|Todennäköisyys sille, että sattunnaismuuttuja saa arvokseen yli 1,2 eli <math>\scriptstyle P\{X < 1,2\}</math> on kuvaajan väritetyn alueen pinta-ala eli integraali.]]Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten ainakaan niiden todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla". Silloinhan niitä ei esiintyisi. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, on niiden todennäköisyys "melkein nolla".
Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä <math>\scriptstyle [a,b]</math>. Tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteinen todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä <math>\scriptstyle [a,b]</math> otettu tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:
:<math>P(a < X < b)=\int_{a}^{b}\phi(x)\,dx .</math>
Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x)\,dx = 1,</math>
koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.
[[Tiedosto:Dis Uniform distribution CDF.svg|thumb|350px|Satunnaismuuttujalla on viisi arvoa välillä <math>[a,b]</math>, joiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki 0,2. Näistä piirretty kertymäfunktio on porrasfunktio, joka on oikealta puolelta jatkuva.]]
=== Kertymäfunktiot ===
[[Tiedosto:Cumulative distribution function for normal distribution, mean 0 and sd 1.svg|thumb|350px|Edellä esitetyn normaalijakauman kertymäfunktion kuvaaja muistuttaa S-käyrää.]][[Kertymäfunktio]] eli jakaumafunktio <math>\scriptstyle F(x)</math> määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmaltapäin päätearvoon <math>\scriptstyle x</math> asti. Sekä diskreettisille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa <ref name=kivela_j3/><ref name=etalukio1/><ref name=etalukio2/>
:<math>F(x)= P(X \le x)=\int_{-\infty}^{x}\phi(t)\,dt .</math>
Todennäköisyys tapahtumalle <math>\scriptstyle [a,b]</math> on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia
:<math>P(a < X < b)=F(b)-F(a).</math>
Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot
:<math>0 \le F(x) \le 1</math>.
Diskreettisillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvilla satunnaismuuttujilla kuvaaja on yleensä kasvavia ja sileä käyriä. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio
:<math>\phi(x)=\frac{d\,F(x)}{dx}.</math>
== Tunnusluvut eli momentit ==
Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa [[odotusarvo]]na (merkitään <math>\scriptstyle E(X)</math>), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi [[momentti (matematiikka)|momentiksi]]. Muita parametrejä voivat olla esimerkiksi [[varianssi]] (merkitään <math>\scriptstyle Var(X)</math>, toinen momentti) tai [[vinous]] (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta vaihtelevat jakaumittain.<ref name=kivela_j4/><ref name=etalukio1/><ref name=etalukio2/>
== Katso myös ==
* [[Satunnaisilmiö]]
* [[Alkeistapaus]]
* [[Tapahtuma (todennäköisyys)|Tapahtuma]]
* [[Perusjoukko (todennäköisyys)|Perusjoukko]]
* [[Todennäköisyys]]
* [[Todennäköisyysjakauma]]
== Lähteet ==
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=emet>Emet, Stefan: [http://users.utu.fi/semet/tod/moniste.pdf Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen], Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014</ref>
* <ref name=hr>Ruskeapää, Heikki: [http://users.utu.fi/semet/tod2/TnI.pdf Todennäköisyyslaskenta I](luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012</ref>
* <ref name=etalukio1>Etälukio: [http://www02.oph.fi/etalukio/pitka_matematiikka/kurssi6/maa6_teoria9.html Diskreetti jakauma]</ref>
* <ref name=etalukio2>Etälukio: [http://www02.oph.fi/etalukio/pitka_matematiikka/kurssi6/maa6_teoria10.html Jatkuva jakauma]</ref>
* <ref name=hs>[http://www.ee.oulu.fi/~harza/ Saarnisaari, Harri]: [http://www.ee.oulu.fi/~harza/sigkasjatko/satunnaismuuttujat.pdf Satunnaismuuttujat] (luentomateriaalia), 2003</ref>
* <ref name=ala3>{{Kirjaviite | Tekijä =Alatupa, Sami et al. | Nimeke =Pitkä Sigma 3 | Vuosi =2010 |Selite =(lukion pitkän matematiikan oppikirja) | Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Otava | Sivut=43−60 |Tunniste =ISBN 978-951-31-5343-4 | Viitattu =5.6.2015}}</ref>
* <ref name=kivela6>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/todnakl6.html Stokastinen muuttuja], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>
* <ref name=kivela_j1>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/jakauma1.html Diskreetit jakaumat], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>
* <ref name=kivela_j2>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/jakauma2.html Jatkuvat jakaumat], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>
* <ref name=kivela_j3>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/jakauma3.html Kertymäfunktio], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>
* <ref name=kivela_j4>Kivelä, Simo K.: [https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/jakauma4.html Jakauman tunnusluvut], M niin kuin matematiikka, 10.8.2000</ref>
* <ref name=RandomVariable>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/RandomVariable.html | Nimeke = Random Variable | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
* <ref name=sottinen19>Sottinen, Tommi: [http://mathstat.helsinki.fi/~tsottine/tnt/ Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov)] (luentomoniste), s.19-24, Helsingin Yliopisto, 2006</ref>
}}
[[Luokka:Todennäköisyyslaskenta]]
| |||