Versio 10. huhtikuuta 2015 kello 13.00 muokkaa 86.50.146.112 (keskustelu) Artikkelin laajentaminen Merkkaus: Visuaalinen muokkaus ← Vanhempi muutos		Versio 10. huhtikuuta 2015 kello 15.23 muokkaa kumoa 86.50.146.112 (keskustelu) Sivun laajentaminen, välitallennus Merkkaus: Visuaalinen muokkaus Uudempi muutos →
Rivi 1: [[Kuva:standard deviation diagram.svg\|thumb\|350px\|Keskihajonta [[normaalijakauma]]n tapauksessa: yhden keskihajonnan etäisyys keskiarvosta rajaa todennäköisyysmassasta 68,27 %, kahden keskihajonnan etäisyys rajaa 95,45 % ja kolmen keskihajonnan etäisyys rajaa 99,73 %.]] '''Hajontaluku''' on [[Tilastotiede\|tilastotieteessä]] [[Todennäköisyysjakauma\|todennäköisyysjakauman]] ~~vaihtelun~~hajonnan eli ~~hajonnan~~sen [[Satunnaismuuttuja\|satunnaismuuttujan]] vaihtelun [[mitta]].<ref name=":0">{{Kirjaviite\|Nimeke = Introduction to Probability and Statistics\|Julkaisija = McGraw-Hill Inc.\|Tekijä = Milton, J.S., Arnold, J.C.\|Vuosi = 1995}}</ref> Yleisimpiä hajontalukuja ovat [[keskihajonta]], [[varianssi]], [[otoskeskihajonta]], [[otosvarianssi]], [[kvantiili]] ja [[variaatiokerroin]]. <ref name=":1">{{Verkkoviite\|osoite = http://www.fsd.uta.fi/menetelmaopetus/hajontaluvut/hajontaluvut.html\|nimeke = Hajontaluvut\|julkaisu = Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto\|julkaisija = Tampereen yliopisto\|viitattu = 10.4.2015\|tekijä = \|ajankohta = 31.08.2003}}</ref> Hajontaluvut ovat [[Keskiluku\|keskilukujen]] ohella keskeisimpiä [[Jakauma\|jakaumiin]] liittyviä käsitteitä.<ref name=":0" /> == Hajonnan mittaaminen == Hajontaluku on [[reaaliluku]], joka saa sitä suuremman arvon mitä enemmän vaihtelua jakauman [[Satunnaismuuttuja\|satunnaismuuttujien]] arvoissa esiintyy. Yleensä tämä lasketaan mittaamalla havaittujen arvojen etäisyyttä havaintoarvojen [[Odotusarvo\|odotus]]- tai [[Keskiarvo\|keskiarvosta]]. Käytettävän hajontaluvun valinta riippuu käyttötarkoituksesta; eri hajontaluvut sopivat eri tilanteisiin riippuen, pyritäänkö tarkastelemaan jakauman absoluuttista vaiko suhteellista hajontaa. Jos otannassa ei ole vaihtelua, hajontaluku saa arvon nolla.<ref name=":0" /> ~~Usein~~Joskus hajontaa kuvattaessa käytetään mittauksen kohteen kanssa samaa [[Mittayksikkö\|yksikköä]]. Jos mittauksen kohteen yksikkö on esimerkiksi kilogramma, myös hajonnan yksikkönä käytetään kilogrammaa. Tällöin hajontalukua voi käyttää hajonnan absoluuttisten arvojen tarkasteluun. Tällaisia hajonnan mittoja ovat: * [[Keskihajonta]] * [[Vaihteluväli]] * [[Kvantiili]] * [[Kvartiiliväli]] Rivi 15: * [[Variaatiokerroin]] * [[Hajonnan kvartiilikerroin]] * [[Normaalijakauma\|Normaalijakauman]] k[[Keskihajonta\|eskihajonta]] ~~Muissa mittayksiköissä ilmaistuja hajontalukuja ovat:~~ Muita hajontalukuja ovat: * [[Varianssi]] * [[Otosvarianssi]] Rivi 23 ⟶ 24: === Varianssi === Varianssi kuvaa, kuinka kaukana satunnaismuuttujan arvot ovat tyypillisesti sen odotusarvosta. Reaaliarvoisen satunnaismuuttujan varianssi on sen toinen keskimomentti. Varianssin [[Neliöjuuri\|neliöjuurta]] sanotaan keskihajonnaksi. [[Diskreetti matematiikka\|Diskreetin]] jakauman varianssi lasketaan kaavalla <math>Var(X)=\sigma^{2}_x = \operatorname{E}[ ( xX - \mu_x ) ^ 2 ]</math>, jossa xX on [[satunnaismuuttuja]] ja ''μ'' on sen [[odotusarvo]] tai [[keskiarvo]].<ref name=":2">{{Kirjaviite\|Nimeke = Tilastolliset menetelmät: Kaavat\|Julkaisija = TKK\|Tekijä = Ilkka Mellin\|Vuosi = 2006}}</ref> [[Jatkuva funktio\|Jatkuvan]] jakauman varianssi lasketaan kaavalla <math>Var(X)=\sigma^{2}_x = \int\limits_{-\infin}^{+\infin} (x-\mu_x)^2 f(x)dx </math>.<ref name=":2" /><ref name=":0" /> Diskreetillä jakaumalla on varianssi, jos <math>\sum\limits_{x_i \in \tau}(x_i - \mu_x)^2 p_i < \infin</math>. Jatkuvalla jakaumalla on varianssi, jos <math>\int\limits_{-\infin}^{+\infin} (x-\mu_x)^2 f(x)dx < \infin</math>. === Keskihajonta === Satunnaismuuttujan standardipoikkeama eli ~~keskihajontakuvaa~~keskihajonta kuvaa keskimääräistä poikkeamaa odotusarvosta. Keskihajonta on varianssin neliöjuuri: <math>D(X)=\sigma_x = \sqrt{\sigma^{2}_x}</math>.<ref name=":1" /><ref name=":2" /> Etuna varianssiin nähden on tulkinnan helppous, sillä keskihajonnan asteikko vastaa mittausten asteikkoa. === Otosvarianssi === Otosvarianssi on varianssi, joka lasketaan suuremman joukon osajoukosta. Kun n lukuarvon joukko <math>y_1,y_2,\ldots,y_n</math> on suuremman joukon Y osajoukko, tämän otosvarianssi on <math>s^2 = \frac{\sum\limits_{i=1} ^{n} (y_{i} - \overline{y})^2}{n-1}</math>, missä <math>\overline{y} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i}}{n} \, \, \, \, \, { \ }</math> on tutkittavan muuttujan y keskiarvo.<ref name=":2" /> === Otoskeskihajonta === Otoksen <math>(y_1,\dots,y_n)</math> keskihajonnan harhaton estimaatti eli [[otoshajonta]] on otosvarianssin neliöjuuri: :<math>s = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1} ^{n} (y_{i} - \overline{y})^2}{n-1}}</math>.<ref name=":2" /> Kun luvut <math>y_1,y_2,\ldots,y_n</math> ovat satunnainen otos isommasta joukosta ''Y'', luku <math>s</math> on [[harhaton]] estimaatti joukon ''Y'' keskihajonnasta. Intuitiivisesti tämä selittyy sillä, että [[otoskeskiarvo]] <math>\overline{y}</math> poikkeaa joukon ''Y'' todellisesta keskiarvosta otoksen suuntaan, mikä tuottaisi keskihajonnan (<math>s</math> yllä) kaavaan liian pienen osoittajan, mutta yhdellä pienennetty nimittäjä kompensoi tämän harhan ja näin saadaan mahdollisimman hyvä estimaatti perusjoukon ''X'' keskihajonnasta. Jos käytettävissä olisi joukon ''Y'' todellinen keskiarvo eikä vain otoksesta <math>y_1,y_2,\ldots,y_n</math> laskettua otoskeskiarvoa <math>\overline{y}</math>, nimittäjässä pitäisi olla ''n'' kuten yleensäkin [[keskihajonta\|keskihajonnan]] kaavassa. === Kvantiili === Satunnaismuuttujan x β-kvantiili kβ , 0 < β < 1, on luku joka toteuttaa ehdot <math> P(x <~~k_β~~ k_b)≤<= βb</math> Kvartiilit ovat satunnaismuuttujan kertymäfunktiolta säännöllisin välein poimittuja prosenttipisteitä. Jakamalla järjestetty aineisto ''q'' kappaleeseen yhtä suuria joukkoja saadaan ''q''-kvantiili. Kvantiilit ovat aineiston arvoja luokkien rajalla. Näin ollen ''k'':nnes kvantiili on sellainen arvo ''x'', että todennäköisyys saada pienempi arvo kuin ''x'' on noin ''k/q''. Empiirisessä työssä kvantiilit lasketaan aineiston kertymäfunktiosta. === Variaatiokerroin === Variaatiokerroin on hajontaluku, joka ei ole mittayksikköön sidottu. Variaatiokertoimen avulla on mahdollista vertailla kahden eri mitta-asteikolla mitatun jakauman hajontoja. Variaatiokerroin <math>v </math> on määritelty keskihajonnan <math>s </math> ja keskiarvon <math>\bar{x} </math> osamääränä.<ref>{{Kirjaviite\|Nimeke = Käyttäytymistieteiden Tilastolliset Menetelmät.\|Julkaisija = Tammi\|Tekijä = Nummenmaa, Lauri\|Isbn = 951-26-5203-X.\|Vuosi = 2004}}</ref><ref name=":0" /> <math>v = s/\bar{x}100%</math> ▼ === Vaihteluväli === Vaihteluväli ''(range)'' on järjestys-, välimatka- ja suhdeasteikon muuttujille sopiva hajontaluku. Se ilmoittaa yksinkertaisesti pienimmän ja suurimman muuttujan arvon välin.<ref name=":1" /> == Käyttötarkoituksia == Hajonnan avulla on mahdollista saada kattavampi käsitys satunnaismuuttujan todennäköisimmistä arvoista. Esimekiksi joukkojen <math> A = (1, 1, 1, 9, 9, 9)</math> ja<math> B = (4, 5, 5, 5, 5, 6)</math> lukuja arpomalla saadaan alkioiden arvojen yhtäsuuresta odotusarvosta huolimatta hyvin erilaisia tuloksia. Tunnettujen hajontalukujan avulla onkin mahdollista arvioida erilaisten tapahtuimien todennäköisyyksiä, mikä on keskeista muun muassa riskienhallinnassa. [[Fysiikka\|Fysiikassa]], [[Kemia\|kemiassa]] ja muissa mitattavissa [[Luonnontiede\|luonnontieteissä]] mittaustulosten vaihtelua tarkastelemalla on mahdollista arvioida koetulosten luotettavuutta. [[Biologia\|Biologiassa]] [[Populaatio\|populaation]] ominaisuuksien määrittämisessä on keskeistä huomioida havaittujen ominaisuuksien vaihtelu. [[Rahoitusmatematiikka\|Rahoitusmatematiikassa]] [[Sijoitusportfolio\|portfolion]] odotetun tuoton varianssi ja keskihajonta kuvaavat sijotukseen kohdistuvaa [[Riski\|riskiä]]. Mitä pienempi hajonta on, sitä todennäköisemmin sijoituksesta saatu tuotto vastaa sen odotusarvoa ja sitä houkuttelevampi sijoituskohde on. [[Taloustiede\|Taloustieteessä]], rahoituksessa ja muissa tieteissä hajontaa pyritään selittämään [[Regressioanalyysi\|regressioanalyysillä]], joka kuvaa muuttujan saamien arvojen kuvaamista suhteessa toiseen muuttujaan. ▲<math>v = s/\bar{x}100%</math> == Katso myös == [[Todennäköisyyslaskenta]] [[Jakauma]] [[Tilastotiede]] [[Todennäköisyysjakauma]] [[Normaalijakauma]] [[Keskiluku]] [[Varianssi]] [[Keskihajonta]] [[Otosvarianssi]] [[Otoskeskihajonta]] [[Kvantiili]] [[Variaatiokerroin]] == Aiheesta muualla == Rivi 76 ⟶ 80: == Lähteet == <references />{{Tynkä/Matematiikka}}▼ * Lauri Nummenmaa: ''Käyttäytymistieteiden Tilastolliset Menetelmät''. Tammi, 2004. ISBN 951-26-5203-X ▲{{Tynkä/Matematiikka}} [[Luokka:Tilastotiede]]

Ero sivun ”Hajontaluku” versioiden välillä