Wikipedia

Ero sivun ”Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
Ei se Cauchy–Schwarzin voisi mitenkään olla, selkeästi kielenvastainen.
Siirsin sisällön Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö-sivulle
Rivi 1:
{{korjattava/Nimi|#OHJAUS [[Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö|}}]]
 
Matematiikassa '''Cauchyn epäyhtälö''', '''Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö''', '''Schwarzin epäyhtälö''' tai '''Cauchyn-Bunjakovskin-Schwarzin epäyhtälö''' on kuuluisa ja monissa tilanteissa hyödyllinen epäyhtälö, jonka nimen taustalla ovat [[Augustin Louis Cauchy]], [[Viktor Jakovlevitš Bunjakovski]] ja [[Hermann Amandus Schwarz]]. Epäyhtälö on käytössä lineaarialgebrassa vektoriavaruuksien yhteydessä, [[analyysi (matematiikka)|analyysi]]ssä sarjateoriassa ja [[sarja (matematiikka)|sarjojen]] [[integrointi|integroinnissa]] ja [[todennäköisyyslaskenta|todennäköisyyslaskennassa]] [[varianssi]]en ja [[kovarianssi]]en yhteydessä.
 
Epäyhtälön mukaan reaali- tai kompleksivektoreiden ''x'' ja ''y'' [[sisätulo]]lle on voimassa
 
:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
 
Epäyhtälössä on voimassa yhtäsuuruus jos ja vain jos ''x'' ja ''y'' ovat [[lineaarinen riippuvuus|lineaarisesti riippuvia]] tai, jos ''x'' ja ''y'' tulkitaan vektoreiksi, yhdensuuntaisia.
 
Tärkeä seuraus Cauchyn epäyhtälöstä on se, että sisätulo on [[jatkuva funktio]].
 
Toinen muoto Cauchyn epäyhtälölle saadaan [[normi (matematiikka)|normi]]n avulla lausuttuna:
: <math> |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, </math>
 
Cauchyn epäyhtälön todisti Cauchy vuonna 1821 äärellisessä tapauksessa. Yleisen tapauksen todisti Bunjakovski vuonna 1859.
 
==Todistus==
 
Epäyhtälö on selvästi tosi tapauksessa ''y'' = 0, joten voidaan olettaa, että <''y'', ''y''> on nollasta poikkeava. Olkoon <math> \lambda</math> [[kompleksiluku]]. Tällöin
 
:<math> 0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2
= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle</math>
:<math> = \langle x,x \rangle - \overline\lambda \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. </math>
 
Valitsemalla
:<math> \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}</math>
saadaan
 
:<math> 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1},</math>
 
mikä on voimassa jos ja vain jos
 
:<math> |\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle </math>
 
eli yhtäpitävästi:
 
:<math> \big| \langle x,y \rangle \big|
\leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|. </math>
[[Q.E.D.]]
 
==Merkittäviä erikoistapaksia==
 
* [[Euklidinen avaruus|Euklidisessa avaruudessa]] '''R'''<sup>''n''</sup>, saadaan
 
:<math>\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).</math> Erityisesti kun ''n''=2 tai 3, jos pistetulo määritellään kahden vektorin väliseksi kulmaksi, saadaan välittömästi epäyhtälö: <math>|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| |\cos \theta| \le |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|</math>. Tämä voidaan johtaa myös [[Lagrangen identiteetti|Lagrangen identiteetistä]] jättämällä pois joitakin termejä.
 
* Neliöllisesti integroituvien kompleksisten funktioiden sisätuloavaruudessa on voimassa
 
:<math>\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.</math>
 
Näiden epäyhtälöiden yleistys on nimeltään [[Hölderin epäyhtälö]].
 
* Tapauksessa ''n''=3 epäyhtälöstä on olemassa vahvempi yhtälö:
 
:<math>\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2.</math>
 
== Käyttö ==
Sisätuloavaruuksien [[kolmioepäyhtälö]] todistetaan usein Cauchyn epäyhtälön avulla seuraavasti: Olkoon ''x'' ja ''y'' annetun sisätuloavaruuden kaksi vektoria. Tällöin
:{|
|<math>\|x + y\|^2</math> || <math>= \langle x + y, x + y \rangle</math>
|-
| || <math>= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2</math>
|-
| || <math>\le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2</math>
|-
| || <math>\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\|+\|y\|^2</math>
|-
| || <math>= \left(\|x\| + \|y\|\right)^2</math>
|}
 
Ottamalla puolittain neliöjuuri saadaan kolmioepäyhtälö.
 
Cauchyn epäyhtälöä käytetään todistamaan [[Besselin epäyhtälö]].
 
[[Luokka:Epäyhtälöt]]
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Cauchyn–Schwarzin_epäyhtälö”