Ero sivun ”Kompleksiluku” versioiden välillä

218 merkkiä lisätty ,  5 vuotta sitten
→‎Laskutoimitukset: lisätty lähteitä
(→‎Lähteet: lähde lisätty)
(→‎Laskutoimitukset: lisätty lähteitä)
Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla [[liitäntälaki|liitäntä-]], [[vaihdantalaki|vaihdanta-]] ja [[osittelulaki|osittelulakeja]], sekä yhtälöä <math>\scriptstyle i^2 = -1</math>:
 
:<math>(x + yi) + (x' + y'i) = (x + x') + (y + y')i\,</math><ref name="s.3"> Saff ja Snider, s.3</ref>
:<math>(x + yi) - (x' + y'i) = (x - x') + (y - y')i\,</math><ref name="s.3"></ref>
:<math>(x + yi) \cdot (x' + y'i) = xx' + xy'i + x'yi + yy'i^2 = (xx' - yy') + (x'y + xy')i\,</math><ref name="s.3"></ref>
 
kaikilla reaaliluvuilla ''x,x',y,y'''
Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan ''[[kompleksikonjugaatti|liittoluvun]]'' eli ''konjugaatin'' avulla. Kompleksiluvun <math>\scriptstyle z = x + yi \,</math> liittoluku on <math>\scriptstyle {z}^{*} = x - yi\,</math>. Määritellään kompleksiluvun ''moduuli'' eli ''[[itseisarvo]]'' <math>\scriptstyle |z| = \sqrt{x^2+y^2}</math>. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon [[neliö (algebra)|neliö]], joka on reaaliluku:
 
:<math>z{z}^{*} = (x + yi)(x - yi) = x^2-y^2 i^2 = x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2} ^2 = |z|^2</math><ref name="s.11"> Saff ja Snider, s.11</ref>
 
Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:
 
:<math>{z_1 \over z_2} = {z_1 {z}_2^{*} \over \ z_2 {z}_2^{*}} = {z_1 {z}_2^{*} \over |z_2|^2}</math><ref name="s.12"> Saff ja Snider, s.12</ref>
 
 
Liittolukua merkitään myös <math>\bar{z}</math>:lla.<ref name="s.10"> Saff ja Snider, s.10</ref>
 
== Geometrinen tulkinta ==
3 883

muokkausta