Avaa päävalikko

Muutokset

16 merkkiä poistettu ,  5 vuotta sitten
p
ei muokkausyhteenvetoa
<ref name=Aikio>{{kirjaviite | Tekijä = Annukka Aikio | Nimeke = Uusi sivistyssanakirja | Sivu = 586 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 951-1-00944-3}}</ref>
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.
<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Roger Penrose|Nimeke = Fearful Symmetry|Julkaisija = Princeton|Vuosi = 2007 | Tunniste = ISBN 978-0-691-13482-6}}</ref><ref name="classical001">Esimerkiksi [[Aristoteles]] väitti taivaankappaleiden olevan pallon muotoisia, koska pallo mahdollisimman symmetrisenä muotona oli ainoa sopiva muoto täydellisessä kosmoksessa</ref> Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten [[geometria]]ssa tai [[fysiikka|fysiikassa]].
 
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee [[yhteismitallisuus|yhteis­mitallisuutta]].<ref name=Aikio />
* geometrisissa muunnoksissa kuten [[mittakaava]]n muutoksessa, [[peilaus|peilauksessa]] ja [[rotaatio (geometria)|rotaatiossa]];
* muunlaisissa funktio­naali­sissa muunnoksissa;<ref>esimerkiksi sellaiset toimen­piteet kuin siirtyminen säännöllisesti laatoitettua lattiaa pitkin tai kahdeksan­kulmaisen [[maljakko|maljakon]] pyörittäminen, yhtälön mutkikkaat muuunnokset tai tapa, jolla musiikkia soitetaan</ref> ja
* piirteenä [[abstraktio]]käsitteissä, tieteellisessä [[mallintaminen|mallintamisessa]], [[kieli|kielessä]], [[musiikki|musiikissa]] ja [[tieto|tiedossa]] itsessäänkin.<ref name="Mainzer000">{{kirjaviite | Tekijä = Klaus Mainzer | Nimeke = Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science | Julkaisija = World Scientific | Vuosi = 2005 | Tunniste = ISBN 981-256-192-7}}</ref> Symmetrinen kohde voi olla aineellinen, kuten henkilö, [[kide]], vuode­peite, lattia­laatoitus tai [[molekyyli]], tai abstrakti käsite kuten matemaattinen [[yhtälö]] tai sävel­kulku musiikissa.
 
Tämä artikkeli käsittelee symmetria­käsitteitä neljältä näkö­kannalta. Ensimmäinen on symmetria [[geometria]]ssa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko [[matematiikka|matematiikassa]]. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy [[tiede|tieteessä]] ja [[teknologia]]ssa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin [[fysiikka|fysiikan]] syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin [[aika|ajasta]] ja [[avaruus|avaruudesta]]. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan [[humanistiset tieteet|humanistisilla]] aloilla ja käsittelee sen rikasta ja moni­muotoista käyttöä [[historia]]ssa, [[arkkitehtuuri]]ssa, [[taide|taiteessa]] ja [[uskonto|uskonnossa]].
 
==Symmetria geometriassa==
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geo­metrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geo­metrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia [[kuvaus|kuvauksia]], jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen [[ryhmä (matematiikka)|ryhmän]], jota sanotaan kuvion tai kappaleen ''symmetriaryhmäksi''. Kappaleen symmetria­ryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
 
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti [[yhtenevyys]]kuvaukset eli [[isometria]]t, joita ovat [[peilaus|peilaukset]], [[rotaatio]]t, [[translaatio]]t ja näistä yhdistetyt kuvaukset.<ref name="Higher dimensional group theory'">[http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm `Higher dimensional group theory']</ref>
[[Tiedosto:Simetria-antitraslacional.svg|right|200px|]]
 
[[Liukuheijastus]]symmetria (kolmessa ulottuvuudessa liuku­taso­symmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alku­peräisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirto­symmetrinen sellaisen trans­laation suhteen, jossa siirto­vektori on kaksin­kertainen. Symmetria­ryhmä on [[isomorfia|isomorfinen]] [[kokonaisluku]]jen joukon <math>\mathbb{Z}</math> kanssa.
 
===Rotorefleksiosymmetria===
;Ääretön kierteinen symmetria: Jos kierteisen kappaleen poikki­leikkaus missä tahansa kohdassa on saman­lainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierre­jouset ja poran­terät.
 
;n-kertainen kierteinen symmetria: Jos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikki­leikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikki­leikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua saman­laisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen väli­matka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman &theta; verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma &theta; on 360 astetta jaettuna jollakin kokonais­luvulla, tulos on säännöllisen moni­kulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi kierteiseksi symmetriaksi''. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että &theta; on jokin täyden kierroksen eli 360°:n moni­kerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
 
;ei-toistuva kierteinen symmetria: Tämä saadaan, jos kierto­kulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on [[irrationaaliluku|irrationaalinen]]. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
Skaala­symmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaala­symmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa [[Galileo Galilei]]. Esimerkkinä skaala­symmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että eri­kokoisilla eläimillä, esimerkiksi [[elefantti|elefanteilla]] ja [[hiiri]]llä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tehtäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi.
 
Skaala­symmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa [[fraktaali|fraktaaleilla]]. [[Benoit Mandelbrot]] määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää saman­kaltaiselta tai jopa täysin saman­laiselta riippumatta siitä, kuinka suurella [[suurennus|suurennuksella]] sitä katsotaan. [[Rantaviiva]] on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista, sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliitti­kuvasta tai tutkimalla mikro­skoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekan­jyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja. Matemaattisesti merkittävämpi esimerkki fraktaalista on [[Mandelbrotin joukko]]. Fraktaalit ovat saaneet huomattavan merkityksen myös [[tietokonegrafiikka|tieto­kone­grafiikassa]].
 
==Symmetria matematiikassa==
jollakin näistä operaatioista.
 
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti [[kvantti]][[kemia]]n, [[spektroskopia]]n, [[kristallografia]]n ja [[hiukkasfysiikka|hiukkasfysiikan]] tutkimuksessa. Symmetrian matemaattisia ominaisuuksia käsitellään [[ryhmäteoria]]ssa.
 
=== Symmetrian matemaattinen malli ===
Kaksipaikkaista [[relaatio]]ta eli [[binäärirelaatio]]ta ''R'' sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon:<br>
aina jos ''Rab'', on myös ''Rba, eli jos ''a'' on relaatiossa ''b'':n kanssa, on myös ''b'' relaatiossa ''a'':n kanssa.<br>
Esimerkiksi relaatio "on saman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli. Sen sijaan relaatio "on vanhempi kuin" ei ole symmetrinen, sillä henkilöt eivät voi molemmat olla toisiaan vanhempia.
 
Symmetrisiä binäärisiä [[looginen konnektiivi|loogisia konnektiiveja]] ovat [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]] ("ja"), [[disjunktio]] (''tai''), looginen ekvivalenssi ("[[jos ja vain jos]]"), "ei molemmat" ([[NAND]]), poissulkeva tai ([[XOR]]) ja "ei.. eikä.." ([[NOR]]).
 
==Tieteessä ja luonnossa==
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista [[tasasivuinen kolmio|tasa­sivuista kolmiota]] kierretään 120 astetta keski­pisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainut­laatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten [[mikroskooppi|optinen]] tai [[elektronimikroskooppi]] toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten [[kiderakenne]]tta ja pieniä muodon epä­säännölli­syyksiä.
 
Tällainen [[ajatuskoe]] osoittaa, että tavan­omaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys liki­määräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden liki­määräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä [[klassinen fysiikka|klassisessa fysiikassa]], tosin sanoen suurten, tavan­omaisten kappaleiden fysiikassa.
 
=====Kvanttifysikaaliset kappaleet =====
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksin­kertaisista kohteista, väitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mieli­kuvamme sellaista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin saman­laisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
 
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alku­puolella täysin vääräksi. Tilanteesta teki hyvän yhteen­vedon [[Richard Feynman]] luento­sarjansa ''[[Feynman Lectures on Physics]] III osan kohdassa 3.4, ''Identical particles'', joka kuitenkin jätettiin pois, kun luennot julkaistiin kirjana.
 
{{quote|… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se ''aina'' interferoi''; tämä ''ei koskaan'' jää tapahtumatta.}}
 
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilate­raali­sesti symmet­risiä siinä mielessä, että
jos jokin fysi­kaali­nen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peili­kuva on mahdollinen. Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen meka­niikan]] ja myös [[sähkömagnetismi]]n lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että [[magneettikenttä]] on luonteel­taan [[pseudovektori]]. Tämä luonnon­lakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että [[pariteetti (fysiikka)|pariteetti]] säilyy.
 
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pari­teetti ei säily kaikissa [[heikko vuorovaikutus|heikon vuorovaikutuksen]] aikaansaamissa [[hiukkasreaktio]]issa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa [[koboltti]]-60:n [[beetahajoaminen|beeta­hajoamista]] matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee [[CPT-symmetria]]: jokainen luonnon­lakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikal­linen ympäristö käännetään peili­kuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan [[antihiukkanen|anti­hiukkasillaan]] ja ilmiö tapahtuu ajalli­sesti taka­perin.
<ref name=Antimateria>{{verkkoviite | Osoite = http://www.kolumbus.fi/villea/antimateria.doc | Nimeke = Antimateria | Sivu = 6 | Julkaisija = Ville Autio, Henri Hokkanen | Tiedostomuoto = doc | Viitattu = 13.4.2013}}</ref>
 
Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja [[sähkömagnetismi]]n perus­lait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi [[planeetta|planeettoja]] kiertämästä Auringon ympäri päin­vastaiseen suuntaan.
 
Joka­päiväisen kokemuksemme perusteella [[aika]] vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epä­symmetri­seltä: [[menneisyys|mennei­syy­dellä]] ja [[tulevaisuus|tule­vai­suu­della]] näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että [[muisti|muistamme]] mennei­syyden mutta emme tule­vai­suutta,<ref name=Hawking>{{kirjaviite |Tekijä = Stephen Hawking | Nimeke = Ajan lyhyt historia | Sivu = 144-147 | Julkaisija = WSOY | Suomentaja = Risto Varteva | Vuosi = 1988 | Tunniste = 951-0-14092-4}}</ref> toisaalta voimme vaikuttaa tule­vai­suu­teen mutta emme mennei­syy­teen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuus­teoriassa]] [[kausaliteetti|kausali­teetin]] invari­anssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi [[irreversiibeli|irrever­sii­be­lejä]] eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä [[elokuva]]a näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.<ref name=Hawking />. [[Arthur Eddington]] antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen [[ajan nuoli]]. [[Kosmologia|Kosmologisella]] tasolla ajan epä­symmetri­syys ilmenee [[maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen|maailman­kaikkeuden metri­senä laaje­nemi­sena]].<ref name=Hawking />
 
On osoittautunut, että arki­elämän ilmiöiden ajallinen epä­symmetria eli irrever­sii­beliys perustuu kaikissa tapauk­sissa viime kädessä [[termodynamiikan toinen pääsääntö|termo­dymaniikan toiseen pää­sääntöön]]
[[Tiedosto:Taj Mahal, Agra views from around (85).JPG|right|thumb|Taj Mahal on bilateraalisesti symmetrinen.]]
 
Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on [[arkkitehtuuri]]. Sekä entisinä että nyky­aikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä symmetrian käyttöä.
 
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkki­tehtuu­rista, jossa symmetriaa käytetiin voimakkaan vaikutuksen aikaan­saamiseksi, ovat [[Egyptin pyramidit]], [[Ateena]]n [[Parthenon]], ensimmäinen ja toinen [[Jerusalemin temppeli]], Kiinan [[Kielletty kaupunki]], [[Kamputsea]]mn [[Angkor Wat]] -rakennusryhmä sekä [[esikolumbiaaniset kulttuurit|esi­kolumbi­aanisten kulttuurien]] monet temppelit ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita [[goottilainen tyyli|goottilaiset]] katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti [[Thomas Jefferson]]in auintalo [[Monticello]]. [[Taj Mahal]] on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.<ref>[http://books.google.fr/books?id=Dk-xS6nABrYC&pg=PA269&dq=taj+mahal+example+of+symmetry&hl=fr&sa=X&ei=oB7jT_PsMoLntQbfubnBBg&ved=0CGQQ6AEwCA#v=onepage&q=taj%20mahal%20example%20of%20symmetry&f=false Gregory Neil Derry (2002), ''What Science Is and How It Works'', Princeton University Press, p. 269]</ref>