Ero sivun ”Symmetria” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p →Logiikassa: typo |
pEi muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 8:
<ref name=Aikio>{{kirjaviite | Tekijä = Annukka Aikio | Nimeke = Uusi sivistyssanakirja | Sivu = 586 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1975 | Tunniste = ISBN 951-1-00944-3}}</ref>
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopusuhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.
<ref>{{kirjaviite|Tekijä = Roger Penrose|Nimeke = Fearful Symmetry|Julkaisija = Princeton|Vuosi = 2007 | Tunniste = ISBN 978-0-691-13482-6}}</ref><ref name="classical001">Esimerkiksi [[Aristoteles]] väitti taivaankappaleiden olevan pallon muotoisia, koska pallo mahdollisimman symmetrisenä muotona oli ainoa sopiva muoto täydellisessä kosmoksessa</ref>
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee [[yhteismitallisuus|yhteismitallisuutta]].<ref name=Aikio />
Rivi 22:
* geometrisissa muunnoksissa kuten [[mittakaava]]n muutoksessa, [[peilaus|peilauksessa]] ja [[rotaatio (geometria)|rotaatiossa]];
* muunlaisissa funktionaalisissa muunnoksissa;<ref>esimerkiksi sellaiset toimenpiteet kuin siirtyminen säännöllisesti laatoitettua lattiaa pitkin tai kahdeksankulmaisen [[maljakko|maljakon]] pyörittäminen, yhtälön mutkikkaat muuunnokset tai tapa, jolla musiikkia soitetaan</ref> ja
* piirteenä [[abstraktio]]käsitteissä, tieteellisessä [[mallintaminen|mallintamisessa]], [[kieli|kielessä]], [[musiikki|musiikissa]] ja [[tieto|tiedossa]] itsessäänkin.<ref name="Mainzer000">{{kirjaviite | Tekijä = Klaus Mainzer | Nimeke = Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science | Julkaisija = World Scientific | Vuosi = 2005 | Tunniste = ISBN 981-256-192-7}}</ref>
Tämä artikkeli käsittelee symmetriakäsitteitä neljältä näkökannalta. Ensimmäinen on symmetria [[geometria]]ssa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko [[matematiikka|matematiikassa]]. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy [[tiede|tieteessä]] ja [[teknologia]]ssa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin [[fysiikka|fysiikan]] syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin [[aika|ajasta]] ja [[avaruus|avaruudesta]]. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan [[humanistiset tieteet|humanistisilla]] aloilla ja käsittelee sen rikasta ja monimuotoista käyttöä [[historia]]ssa, [[arkkitehtuuri]]ssa, [[taide|taiteessa]] ja [[uskonto|uskonnossa]].
Rivi 29:
==Symmetria geometriassa==
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geometrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geometrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia [[kuvaus|kuvauksia]], jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen [[ryhmä (matematiikka)|ryhmän]], jota sanotaan kuvion tai kappaleen ''symmetriaryhmäksi''.
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti [[yhtenevyys]]kuvaukset eli [[isometria]]t, joita ovat [[peilaus|peilaukset]], [[rotaatio]]t, [[translaatio]]t ja näistä yhdistetyt kuvaukset.<ref name="Higher dimensional group theory'">[http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm `Higher dimensional group theory']</ref>
Rivi 83:
[[Tiedosto:Simetria-antitraslacional.svg|right|200px|]]
[[Liukuheijastus]]symmetria (kolmessa ulottuvuudessa liukutasosymmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alkuperäisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirtosymmetrinen sellaisen translaation suhteen, jossa siirtovektori on kaksinkertainen. Symmetriaryhmä on [[isomorfia|isomorfinen]] [[kokonaisluku]]jen joukon
===Rotorefleksiosymmetria===
Rivi 105:
;Ääretön kierteinen symmetria: Jos kierteisen kappaleen poikkileikkaus missä tahansa kohdassa on samanlainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierrejouset ja poranterät.
;n-kertainen kierteinen symmetria: Jos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikkileikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikkileikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua samanlaisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen välimatka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman θ verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma θ on 360 astetta jaettuna jollakin kokonaisluvulla, tulos on säännöllisen monikulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi kierteiseksi symmetriaksi''.
;ei-toistuva kierteinen symmetria: Tämä saadaan, jos kiertokulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on [[irrationaaliluku|irrationaalinen]]. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
Rivi 124:
Skaalasymmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaalasymmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa [[Galileo Galilei]]. Esimerkkinä skaalasymmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että erikokoisilla eläimillä, esimerkiksi [[elefantti|elefanteilla]] ja [[hiiri]]llä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tehtäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi.
Skaalasymmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa [[fraktaali|fraktaaleilla]]. [[Benoit Mandelbrot]] määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää samankaltaiselta tai jopa täysin samanlaiselta riippumatta siitä, kuinka suurella [[suurennus|suurennuksella]] sitä katsotaan. [[Rantaviiva]] on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista, sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliittikuvasta tai tutkimalla mikroskoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekanjyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja.
==Symmetria matematiikassa==
Rivi 133:
jollakin näistä operaatioista.
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti [[kvantti]][[kemia]]n, [[spektroskopia]]n, [[kristallografia]]n ja [[hiukkasfysiikka|hiukkasfysiikan]] tutkimuksessa.
=== Symmetrian matemaattinen malli ===
Rivi 158:
Kaksipaikkaista [[relaatio]]ta eli [[binäärirelaatio]]ta ''R'' sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon:<br>
aina jos ''Rab'', on myös ''Rba, eli jos ''a'' on relaatiossa ''b'':n kanssa, on myös ''b'' relaatiossa ''a'':n kanssa.<br>
Esimerkiksi relaatio "on saman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli.
Symmetrisiä binäärisiä [[looginen konnektiivi|loogisia konnektiiveja]] ovat [[konjunktio (logiikka)|konjunktio]] ("ja"), [[disjunktio]] (''tai''), looginen ekvivalenssi ("[[jos ja vain jos]]"), "ei molemmat" ([[NAND]]), poissulkeva tai ([[XOR]])
==Tieteessä ja luonnossa==
Rivi 177:
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista [[tasasivuinen kolmio|tasasivuista kolmiota]] kierretään 120 astetta keskipisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainutlaatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten [[mikroskooppi|optinen]] tai [[elektronimikroskooppi]] toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten [[kiderakenne]]tta ja pieniä muodon epäsäännöllisyyksiä.
Tällainen [[ajatuskoe]] osoittaa, että tavanomaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys likimääräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä.
=====Kvanttifysikaaliset kappaleet =====
Rivi 189:
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksinkertaisista kohteista, väitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mielikuvamme sellaista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin samanlaisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alkupuolella täysin vääräksi.
{{quote|… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se ''aina'' interferoi''; tämä ''ei koskaan'' jää tapahtumatta.}}
Rivi 202:
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilateraalisesti symmetrisiä siinä mielessä, että
jos jokin fysikaalinen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peilikuva on mahdollinen. Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja myös [[sähkömagnetismi]]n lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että [[magneettikenttä]] on luonteeltaan [[pseudovektori]].
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pariteetti ei säily kaikissa [[heikko vuorovaikutus|heikon vuorovaikutuksen]] aikaansaamissa [[hiukkasreaktio]]issa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa [[koboltti]]-60:n [[beetahajoaminen|beetahajoamista]] matalissa lämpötiloissa.
<ref name=Antimateria>{{verkkoviite | Osoite = http://www.kolumbus.fi/villea/antimateria.doc | Nimeke = Antimateria | Sivu = 6 | Julkaisija = Ville Autio, Henri Hokkanen | Tiedostomuoto = doc | Viitattu = 13.4.2013}}</ref>
Rivi 211:
Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja [[sähkömagnetismi]]n peruslait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi [[planeetta|planeettoja]] kiertämästä Auringon ympäri päinvastaiseen suuntaan.
Jokapäiväisen kokemuksemme perusteella [[aika]] vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epäsymmetriseltä: [[menneisyys|menneisyydellä]] ja [[tulevaisuus|tulevaisuudella]] näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että [[muisti|muistamme]] menneisyyden mutta emme tulevaisuutta,<ref name=Hawking>{{kirjaviite |Tekijä = Stephen Hawking | Nimeke = Ajan lyhyt historia | Sivu = 144-147 | Julkaisija = WSOY | Suomentaja = Risto Varteva | Vuosi = 1988 | Tunniste = 951-0-14092-4}}</ref> toisaalta voimme vaikuttaa tulevaisuuteen mutta emme menneisyyteen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuusteoriassa]] [[kausaliteetti|kausaliteetin]] invarianssina.
On osoittautunut, että arkielämän ilmiöiden ajallinen epäsymmetria eli irreversiibeliys perustuu kaikissa tapauksissa viime kädessä [[termodynamiikan toinen pääsääntö|termodymaniikan toiseen pääsääntöön]]
Rivi 246:
[[Tiedosto:Taj Mahal, Agra views from around (85).JPG|right|thumb|Taj Mahal on bilateraalisesti symmetrinen.]]
Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on [[arkkitehtuuri]]. Sekä entisinä että nykyaikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkkitehtuurista, jossa symmetriaa käytetiin voimakkaan vaikutuksen aikaansaamiseksi, ovat [[Egyptin pyramidit]], [[Ateena]]n [[Parthenon]], ensimmäinen ja toinen [[Jerusalemin temppeli]], Kiinan [[Kielletty kaupunki]], [[Kamputsea]]mn [[Angkor Wat]] -rakennusryhmä sekä [[esikolumbiaaniset kulttuurit|esikolumbiaanisten kulttuurien]] monet temppelit ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita [[goottilainen tyyli|goottilaiset]] katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti [[Thomas Jefferson]]in auintalo [[Monticello]]. [[Taj Mahal]] on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.<ref>[http://books.google.fr/books?id=Dk-xS6nABrYC&pg=PA269&dq=taj+mahal+example+of+symmetry&hl=fr&sa=X&ei=oB7jT_PsMoLntQbfubnBBg&ved=0CGQQ6AEwCA#v=onepage&q=taj%20mahal%20example%20of%20symmetry&f=false Gregory Neil Derry (2002), ''What Science Is and How It Works'', Princeton University Press, p. 269]</ref>
| |||