Ero sivun ”Projektiivinen geometria” versioiden välillä
| [katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p →Läheet: kh |
KLS (keskustelu | muokkaukset) laajennettu pääasiassa engl. Wikipediasta kääntämällä; myös yhtä suomenkielistä lähdettä on käytetty |
||
Rivi 1:
[[File:Theoreme fondamental geometrie projective.PNG|thumb|300px|right|Esimerkki
[[File:Railroad in Northumberland County, Pennsylvania.JPG|thumb|300px|right|Todellisuudessa ratakiskot ovat yhdensuuntaiset, mutta [[perspektiivi]]sesti ne näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Projektiivisessa geometriassa niiden ajatellaan kohtaavan toisensa "äärettömän kaukaisessa" [[ideaalipiste]]essä.]]
'''Projektiivinen geometria''' on [[geometria]]n ala, joka tutkii ominaisuuksia, jotka säilyvät [[keskeisprojektio]]issa tasolta tasolle. <ref>{{verkkoviite | Osoite = http://cc.ou | Nimeke = projektiivisen geometrian alkeita | Tiedostomuoto = pdf | Viitattu = 4.11.2014}}</ref> Projektiivisessa geometriassa pisteiden oletetaan sijaitsevan [[projektiivinen avaruus|projektiivisessa avaruudessa]], jossa voidaan intuitiivisesti ajatella olevan ''enemmän'' pisteitä kuin yhtä moniulotteisessa [[euklidinen avaruus|euklidisessa avaruudessa]], ja näiden "ylimääräisten" pisteiden eli [[ideaalipiste]]iden voidaan ajatella olevan [[ääretön|äärettömän]] kaukana. Projektiivisessa geometriassa sallitaan myös sellaiset geometriset muunnokset, joissa nämä ideaalipisteet kuvautuvat tavanomaisen avaruuden pisteille tai päinvastoin.
Projektiivisen geometrian geometrian yhtenä virikkeenä on ollut [[perspektiivi]]oppi. Perspektiivisesti sellaisetkin [[suora]]t, jotka todellisuudessa ovat [[yhdensuuntaisuus|yhdensuuntaisia]], esimerkiksi ratakiskot, näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Tämän vuoksi niiden voidaan ajatella leikkaavan toisensa "äärettömän kaukana". projektiivisessa geometriassa tavanomaiseen avaruuteen lisätäänkin kutakin yhdensuuntaisten suorien [[ekvivalenssiluokka]]a kohti yksi "äärettömän kaukainen" piste. Kun [[taso]]on lisätään tällaiset äärettömän kaukaiset pisteet, saadaan [[projektiivinen taso]], ja vastaavasti kun [[kolmiulotteisuus|kolmiulotteiseen]] avaruuteen lisätään tällaiset pisteet, saadaan kolmiulotteinen [[projektiivinen avaruus]].
Projektiivisessa geometriassa merkityksellisiä ovat vain sellaiset ominaisuudet, jotka säilyvät projektiivisissa muunnoksissa. Esimerkiksi [[kulma|kulmilla]] ei projektiivisessa geometriassa ole merkitystä, koska ne eivät tällaisissa muunnoksissa säily, mikä perspektiivipiirustuksessa hyvin käy ilmi.
Ala sai alkunsa 1600-luvulla [[Girard Desargues]]in tutkimuksista, mutta se jäi syrjään geometrisen tutkimuksen valtavirrasta 1800-luvun alkuun asti, jolloin [[Jean-Victor Poncelet]] julkaisi järjestelmällisen esityksen projektiivisesta geometriasta.<ref>{{Kirjaviite | Tekijä = Thompson, Jan (toim.) | Nimeke = Matematiikan käsikirja | Vuosi = 1994| Luku = | Sivu = 323| Selite = Hakusana "projektiivinen geometria"| Julkaisupaikka = | Julkaisija = Tammi| Tunniste = | www = | www-teksti = | Tiedostomuoto = | Viitattu = 31.10.2014 | Kieli = }}</ref>
Tämän jälkeen projektiivista geometriaa alettiin tutkia niin vilkkaasti, että siitä tuli aikakauden [[geometria]]n tärkein tutkimusalue. Tällöin kehitettiin myös [[kompleksinen projektiivinen avaruus|kompleksisen projektiivisen avaruuden]] teoria, jossa [[koordinaatti|koordinaatit]] ovat [[kompleksiluku]]ja. Projektiiviseen geometriaan perustuivat myös monet muut samoihin aikoihin kehitetyt abstraktin matematiikan haarat kuten [[invarianttiteoria]], [[italialainen algebrallisen geometrian koulukunta]], [[Felix Klein]]in [[Erlangenin ohjelma]], joka johti [[klassiset Lien ryhmät|klassisten Lien ryhmien]] teoriaan, sekä [[äärellinen geometria]].
Projektiivinen geometria itsekin jakaantuu nykyisin moniin tutkimusaloihin, joista esimerkkeinä voidaan mainita ''projektiivinen algebrallinen geometria'' eli projektiivisten [[varisto (matematiikka)|varistojen]] tutkimus sekä ''projektiivinen [[differentiaaligeometria]]'' eli projektiivisten muunnosten differentiaalisten invarianttien tutkimus.
== Yleiskuvaus ==
Projektiivinen geometria on geometrian ei-[[metriikka (matematiikka)|metrinen]] muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietynlaisista [[piste]]iden ja [[suora|suorien]] muodostamista kuvioista. Kun [[Girard Desargues|Desargues]] ja muut kehittivät [[perspektiivi]]oppia matemaattisesti selvittäessään projektiivisen geometrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geometrisesti mielenkiintoisia tuloksia.<ref>{{lehtiviite | Kirjoittaja = S. Ramanan | Otsikko = Projective geometry | Julkaisu = Resonance | Julkaisija = Springer India | Numero = 2 | issue = 8 | Sivu = 88 | Ajankohta = elokuu 1997 | doi = 10.1007/BF02835009}}</ref> Useampiulotteisissa avaruuksissa käsitellään [[hypertaso]]ja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia aliavaruuksia, joille on ominaista [[duaalisuus]]periaate. Yksinkertaisimmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projektiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksikäsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksikäsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkauspisteen) osoittautuvat rakenteeltaan samanlaisiksi. Projektiivinen geometria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista [[Geometrinen konstruktiotehtävä|geometrisista konstruktioista]], jotka voidaan suorittaa pelkän [[viivoitin|viivoittimen]] avulla.<ref name="Coxeter2003">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> Koska [[harppi|harpin]] käyttöä ei sallita, eivät projektiiviseen geometriaan kuulu [[ympyrä]]t, [[kulma]]t, etäisyyksien mittaus, suorien [[yhdensuuntaisuus]] eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä.<ref name="ReferenceA">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 229 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref> Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projektiivisessa geometriassa, ovat yksinkertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset [[kartioleikkaus|kartioleikkaukset]] ovat ekvivalentteja kompleksisessa projektiivisessa geometriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikoistapauksiksi.
1800-luvun alussa muun muassa [[Jean-Victor Poncelet]]'n ja [[Lazare Carnot]]'n tutkimukset tekivät projektiivisesta geometriasta itsenäisen matematiikan haaran.<ref name="ReferenceA" /> Sen perusteita tarkensi [[Karl von Staudt]], ja 1800-luvun lopulla italialaiset [[Giuseppe Peano]], [[Mario Pieri]], [[Alessandro Padoa]] ja [[Gino Fano]] kehittivät ne täydelliseen muotoon.<ref name="Coxeter2003-14">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 14 | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> [[Affiininen geometria|Affiinisen]] ja [[euklidinen geometria|euklidisen geometrian]] tavoin myös projektiivinen geometria voidaan muotoilla [[Felix Klein]]in [[Erlangenin ohjelma]]n avulla: projektiivista geometriaa luonnehtivat [[projektiivinen ryhmä|projektiivisen ryhmän]] muunnosten [[invariantti|invariantit]].
Projektiivisen geometrian perusteet tulivat ymmärretyiksi, kun alalta oli runsaan tutkimuksen avulla saatu johdetuksi erittäin monia teoreemoja. Perustavia invariantteja projektiivisessa geometriassa ovat [[insidenssistruktuuri]] ja [[kaksoissuhde]]. Projektiivista geometriaa voidaan mallintaa [[affiini geometria|affiinisella tasolla]] (tai affiinisella avaruudella), johon lisätään "äärettömyydessä" oleva suora (tai hypertaso) ja käsittelmällä tätä suoraa (tai hypertasoa) "tavallisten" suorien (tai tasojen) tavoin.<ref name="ReferenceA">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 93, 261 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref> Homogeeniset koordinaatit tarjoavat algerallisen mallin, jolla projektiivista geometriaa voidaan tutkia [[analyyttinen geometria|analyyttisen geometrian]] tapaan.
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 234–238 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 111–132 | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> Toisaalta aksioomien tutkimus paljasti, että on olemassa [[ei-desarguesilainen taso|ei-desarguesilaisia tasoja]], jotka ovat esimerkkejä siitä, että kahdessa ulottuvuudessa insidenssiaksioomat voidaan muotoilla sellaistenkin struktuurien avulla, joita ei voida johtaa homogeenisesta koordinaattijärjestelmästä.
[[File:Growth measure and vortices.jpg|thumb|300px|right|Mittakaavan kasvu ja napapyörteet. Perustuu Lawrence Edwardsin tutkimuksiin.]]
Projektiivinen geometria ja [[järjestetty geometria]] ovat perustavalla tavalla yksinkertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä [[aksiooma|aksioomia]], ja kumpaakin voidaan käyttää [[affiini geometria|affiinin]] ja [[euklidinen geometria|euklidisen geometrian]] perustana.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 175–262 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 102–110 | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> projektiivinen geometria ei ole "järjestetty"<ref name="ReferenceA" />, ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geometrialle.
== Historia ==
Ensimmäiset luonteeltaan projektiiviset geometriset ominaisuuet löysi 200-luvulla [[Pappos Aleksandrialainen]].<ref name="ReferenceA" /> [[Filippo Brunelleschi]] (1404–1472) aloitti [[perspektiivi]]n geometrian tutkimisen vuonna 1425.
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 2 |
Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> [[Johannes Kepler]] (1571–1630) ja [[Girard Desargues]] (1591–1661) kehittivät toisistaan riippumatta keskeisen "äärettömyydessä olevan pisteen" käsitteen.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 3 | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref> Desargues kehitti perspektiivipiirustukseen vaihtoehtoisen menetelmän yleistämällä [[pakopiste]]iden käsittelyä siten, että ne voivat olla myös äärettömän kaukana. Hän teki [[euklidinen geometria|euklidisesta geometriasta]], jossa yhdensuuntaiset suorat todella ovat yhdensuuntaisia, erikoistapauksen kaikenkattavasta geometrisesta järjestelmästä. Desargues tutki myös [[kartioleikkaus|kartioleikkauksia]], ja hänen tällä alaltaan tekemiin tutkimuksiin kiinnitti huomiota 16-vuotias [[Blaise Pascal]], joka niiden avulla onnistui muotoilemaan [[Pascalin lause]]en. [[Gaspard Monge]]n tutkimukset 1700- ja 1800-lukujen vaihteessa olivat projektiivisen geometrian myöhemmän kehityksen kannalta tärkeitä. Desarguesin saavutuksia ei juuri tunnettu, ennen kuin [[Michel Chasles]] sai vuonna 1845 hankituksi hänen tutkielmistaan käsin tehdyn jäljennöksen. Sillä välin [[Jean-Victor Poncelet]] oli laatinut vuonna 1822 julkaistun projektiivisen geometrian perusteoksen. Poncelet erotti kohteiden projektiiviset ominaisuudet omaksi luokakseen ja selvitti, miten metriset ja projektiiviset ominaisuudet liittyivät toisiinsa. Kun vähän myöhemmin keksittiin [[epäeuklidinen geometria|epäeuklidiset geometriat]], osoittautui, että nekin voitiin mallintaa projektiivisen geometrian avulla, esimerkiksi [[hyperbolinen geometria|hyperboliselle avaruudelle]] voitiin muodostaa [[Kleinin malli]].
Tämä 1800-luvun varhainen projektiivinen geometria oli tärkeä askel [[analyyttinen geometria|analyyttisestä geometriasta]] kohti [[algebrallinen geometria|algebrallista geometriaa]]. [[Homogeeniset koordinaatit|Homogeenisilla koordinaateilla]] käsiteltynä projektiivinen geometria näyttää koordinaattien käytön laajennukselta tai tekniseltä parannukselta, jolla geometriset probleemat voidaan palauttaa [[algebra]]an ja jossa erikoistapausten lukumäärää saadaan vähennetyksi. [[Toisen asteen pinta|Toisen asteen pintojen]] yksityiskohtainen tutkimus ja [[Julius Plúcker]]in "[[viivageometria]]" ovat esimerkkejä monista yleisempien geometristen käsitteiden tutkimuksesta.
[[Jean-Victor Poncelet|Poncelet]]'n, [[Jakob Steiner|Steiner]]in ja muiden suorittaman työn tarkoituksena ei ollut laajentaa [[analyyttinen geometria|analyyttista geometriaa]]. He olettivat käyttämiensä menetelmien olevan "[[synteettinen geometria|synteettisiä]]"; itse asiassa [[projektiivinen avaruus]] sellaisena kuin se nykyisin käsitettiin kohdettiin aksiomaattisesti. Sen vuoksi projektiivisen geometrian varhaisten tulosten uudelleenmuotoilu siten, että ne vastaavat nykyisiä tarkkuuden vaatimuksia, voi olla jokseenkin vaikeaa. Jo [[projektiivinen taso|projektiivisen tason]] tapauksessa aksiomaattinen lähestymistapa voi johtaa malleihin, joita ei voida esittää [[lineaarialgebra]]n avulla.
Myöhemmin projektiivisen geometrian kehitykseen vaikuttivat huomattavasti muun muassa [[Clebsch]]in, [[Bernhard Riemann|Riemann]]in ja [[Max Noether]]in [[algebrallinen käyrä|algebrallisia käyriä]] koskeneet tutkimukset sekä [[invarianttiteoria]]. Vuosisadan lopulla [[italialainen algebrallisen geometrian koulukunta]], johon kuuluivat [[Federigo Enriques]], [[Corrado Segre]] ja [[Francesco Severi]], kehitti alaa edelleen niin, että tarvittiin syvällisempiä menetelmiä.
Aivan 1800-luvun lopulla projektiivisen geometrian yksityiskohtainen tutkimus alkoi jo hiipua, mutta alan kirjallisuus oli jo hyvin laaja. Varsinkin Schubert suoritti vielä merkittävää tutkimusta [[enumeratiivinen geometria|enumeratiivisen geometrian]] alalla, jonka nykyisin katsotaan ennakoineen [[Chernin luokka|Chernin luokkien]] teoriaa ja [[algebrallinen topologia|algebralliseen topologiaan]] kuuluvaa [[Grasmannin monisto]]jen teoriaa.
[[Paul Dirac]] tutki projektiivista geometriaa ja käytti sitä kehittämiensä [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaanisten]] käsitteiden pohjana, joskin hän julkaisi tuloksensa aina algebrallisessa muodossa.<ref>{{verkkoviite | Osoite = http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=262 | Nimeke = Dirac's Hidden Geometry | Viitattu = 6.11.2014}}</ref>
==Tarkempi kuvaus==
Projectiivinen geometria on vähemmän rajoittavaa kuin [[euklidinen geometria|euklidinen]] tai [[affiini geometria]]. Se on oleellisesti ei-[[metriikka (matematiikka)|metristä]] geometriaa, jonka tulokset eivät riipu mistään metrisestä struktuurista. Projektiivisissa muunnoksissa [[insidenssistruktuuri]] ja [[projektiivinen harmoninen konjugaatti]] säilyvät. Sen yksiulotteisena perustana on pisteiden muodostama [[projektiivinen jono]]. Projektiivisessa geometriassa yksi perspektiivin perusperiaatteista muotoillaan näin: yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa äärettömyydessä, ja sen vuoksi ne piirretään niin tietyllä tavalla. Oleellisesti projektiivinen geometria voidaan käsittää [[euklidinen geometria|euklidisen geometrian]] laajennukseksi, jossa jokaista keskenään yhdensuuntaisten suorien luokkaa kohti on lisätty yksi ylimääräinen "piste" ja jossa tason suoria tällä tavoin vastaavien pisteiden muodostamaa "horisonttia" käsitellään "suorana". Täten yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa jossakin horisonttisuoran pisteessä.
Idealisoituja suuntia sanotaan äärettömyydessä oleviksi pisteiksi, kun taas eri tasoja vastaavia horisontteja sanotaan äärettömyydessä oleviksi suoriksi. Kaikki tällaiset suorat taas sijaitsevat äärettömyydessä olevalla tasolla. Äärettömyys on kuitenkin metrinen käsite, joten puhtaasti projektiivinen geometria ei sulje pois mitään pisteitä – äärettömyydessä olevia käsitellään samalla tavoin kuin muitakin pisteitä.
Koska [[euklidinen geometria]] sisältyy projektiiviseen geometriaan mutta projektiivisella geometrialla on yksinkertaisempi perusta, euklidisen geometrian yleisiin tuloksiin voidaan päästä läpinäkyvämmällä tavalla, kun taas eräitä euklidisessa geometriassa erillisiä mutta toisiaan muistuttavia teoreemoja voidaan projektiivisessa geometriassa käsitellä yhdessä. Esimerkiksi yhdensuuntaisia ja erisuuntaisia suoria ei tarvitse käsitellä eri tapauksina – valitaan vain sopiva projektiivinen taso ideaalitasoksi ja sijoitetaan se "äärettömyyteen" käyttämällä [[homogeeniset koordinaatit|homogeenisia koordinaatteja]].
Muita perustavan tärkeitä ominaisuuksia ovat [[Desarguesin lause]] ja [[Pappoksen lause|Pappoksen kuusikulmiolause]]. Kolmi- tai useampiulotteisessa projektiivisessa avaruuddessa on konstruktio, jolla Desarguesin lause voidaan todistaa. Mutta kahdessa ulottuvuuessa se on erikseen oletettava [[postulaatti]]na.
Desarguesin lauseen ja muiden aksioomien avulla voidaan [[aritmetiikka|aritmetiikan]] peruslaskutoimitukset määritellä geometrisesti. Näin määritellyt [[laskutoimitus|laskutoimitukset]] toteuttavat [[kunta (matematiikka)|kunnan]] aksioomat, kuitenkin siten, että kertolaskun [[vaihdannaisuus]] edellyttää [[Pappoksen lause]]tta. Täten minkä tahansa suoran pisteide ja annetun kunnan F alkioden välillä on [[bijektio|bijektiivinen]] vastaavuus, kuitenkin siten, että kuntaan F on lisättävä ylimääräinen alkio ∞ siten, että r∞ = ∞, −∞ = ∞, r+∞ = ∞, r/0 = ∞, r/∞ = 0, ∞−r = r−∞ = ∞. Lausekkeille 0/0, ∞/∞, ∞+∞, ∞−∞, 0∞ and ∞0 ei kuitenkaan voida määritellä mitään arvoa.
Projektiivinen geometria sisältää myös täydellisen [[kartioleikkaus]]ten teorian, joka tosin oli voitu täysin kehittää myös euklidisen geometrian pohjalta. Selviä etuja saadaan kuitenkin sillä, että [[hyperbeli]]n ja [[ellipsi]]n voidaan ajatella eroavan toisistaan vain siten, että hyperbeli leikkaa äärettömyydessä olevien ideaalipisteiden muodostaman suoran, ellpsi ei, kun taas [[paraabeli]] eroaa näistä molemmista vain siten, että tämä suora on sen tangentti. Jos homogeenisten koordinaattien sallitaan olla myös [[kompleksiluku]]ja, voidaan lisäksi kaikki ympyrät voidaan käsittää ''kartioleikkauksiksi, jotka kulkevat kahden äärettömyydessä olevan pisteen kautta''. Koska koordinaatit eivät ole "synteettisiä", ne korvataan kiinnittämällä yksi suora ja kaksi sillä olevaa pistettä ja ottamalla tarkastelun perustaksi kyseisten pisteiden kautta kulkevien kartioleikkausten muodostama ''lineaarinen systeemi''. Tämä lähestymistapa kiinnosti suuresti lahjakkaita geometrikkoja, ja ala tutkittiin perin pohjin. Esimerkkinä tämän lähestymistavan käytöstä voidaan mainta [[H. F. Baker]]in moniosainen teos.
Projektiivisia geometrioita on useita, ja ne voidaan jakaa diskreetteihin ja jatkuviin. Diskreetti geometria käsittää äärellisen tai äärettömän joukon erillisiä pisteitä, kun taas jatkuva geometria käsittää äärettömän joukon pisteitä ilman aukkoja niiden välissä.
Ainoa nollaulotteinen projektiivinen geometria käsittää vain yhden pisteen. Yksiulotteinen projektiivinen veometria käsittää vain yhden suoran, jossa on vähintään kolme pistettä. Aritmeettisten laskutoimitusten geometrista konstruktiota ei kummassakaan näistä tapauksista voida suorittaa. Kahdessa ulottuvuudessa on rikas rakenne, mikä johtuu siitä, ettei [[Desarguesin lause]] ole voimassa.
[[File:Fano plane.svg|thumb|right|[[Fanon taso]] sisältää kaikista projektiivisista tasoista vähiten pisteitä.]]
Muun muassa Greenbergin (1999) mukaan yksinkertaisin kaksiulotteinen projektiivinen geometria on [[Fanon taso]], jossa on kaikkiaan seitsemän suoraa ja seitsemän pistettä, joista kolme jokaisella suoralla siten, että seuraavat pisteet sijaitsevat keskenään samalla suoralla:
* [ABC]
* [ADE]
* [AFG]
* [BDG]
* [BEF]
* [CDF]
* [CEG]
missä pisteiden [[homogeeniset koordinaatit]] ovat A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,0), F = (1,1,1), G = (1,1,0), tai affiiniset koordinaatit A = (0,0), B = (0,1), C =(∞), D = (1,0), E = (0), F = (1,1) ja G = (1).
Äärettömyydessä olevien pisteiden (tässä esimerkissä C, E ja G) affiinit koordinaatit Desarguesin lauseen toteuttavalla tasolla voidaan määritellä monella muullakin tavalla.
Standardimerkintä äärelliselle projektiiviselle geometrialle on PG(''a'', ''b''), mittä:
: ''a'' on projektiivinen (tai geometrinen) ulottuvuus, ja
: ''b'' on pisteiden lukumäärä suoralla vähennettynä yhdellä, geometrian ''aste''.
Niinpä edellä käsitelty geometria, jossa on seitsemän pistettä, merkitään pG(2,2).
Termillä "projektiivinen gemeotria" tarkoitetaan toisinaan alan perustana olevaa yleistä abstraktia geometriaa, toisinaan tiettyä, erityistä huomiota osakseen saavaa geometriaa, esimerkiksi tasogeometriaa, jota tutkitaan [[homogeeniset koordinaatit|homogeenisten koordinaattien]] avulla ja johon [[euklinen geometria]] voidaan upottaa, minkä vuoksi [[projektiivinen taso|projektiivista tasoa]] kutsutaankin myös ''laajennetuksi euklidiseksi tasoksi''.
Kaikille projektiivisille geometrioille yhteinen perustava ominaisuus on se [[elliptinen geometria|elliptinen]] insidenssiominaisuus, että projektiivisella tasolla mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaa toisensa yhdessä ja vain yhdessä pisteessä. Sellaisetkin suorat, joita euklidisessa geometriassa käsitetään yhdensuuntaisiksi, leikkaavat toisensa eräässä pisteessä, ''ideaalipisteessä'', jonka voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Kaikki tällaiset ideaalipisteet muodostavat "äärettömän kaukaisen" suoran, mutta projektiivisessa geometriassa se käsitetään aivan samanlaiseksi kuin kaikki muutkin suorat eikä ole millään tavalla erikoisasemassa. Myöhemmässä [[Erlangenin ohjelma]]ssa geometriset muunnokset muodostavat [[ryhmä (matematiikka)|ryhmän]], ja tällaisilla muunnoksilla mikä tahansa suora voidaan siirtää tämän "äärettömän kaukaisen" suoran paikalle.
Jos on annettu suora ''l'' ja piste ''P'', joka ei ole suoralla ''l'', tämä elliptinen geometria poikkeaa euklidisesta ja [[hyperbolinen geometria|hyperbolisesta geometriasta]] seuraavasti:
{|
|-
! align="left" | [[Elliptinen geometria|Elliptinen]]
| :
| jokainen ''P'':n kautta kulkeva suora leikkaa suoran ''l'' yhdessä pisteessä
|-
! align="left" | [[Euklidinen geometria|Euklidinen]]
| :
| pisteen ''P'' kautta kulkee yksi suora, joka ei leikkaa suoraa ''l'', kaikki muut leikkaavat sen kukin yhdessä pisteessä
|-
! align="left" | [[Hyperbolinen geometria|Hyperbolinen]]
| :
| pisteen ''P'' kautta kulkee useampi kuin yksi suora, joka ei leikkaa suoraa ''l''
|}
Tämä elliptinen yhdensuuntaisominaisuus johtaa projektiivisen ''dualiteetin'' periaatteeseen, joka ehkä kaikkien projektiivisten geometrioiden tärkein yhteinen piirre.
==Dualiteetti==
VUonna 1825 [[Joseph Gergonne]] havaitsi, että projektiivisessa tasogeometriassa pätee sille luonteenomainen [[duaalisuus]]periaate: jokaisesta projektiivisen tasogeometrian teoreemasta tai määritelmästä voidaan muokata toinen teoreema tai toisen käsitteen määritelmä vaihtamalla keskenään sanat "suora" ja "taso" sekä niistä johdetut käsitteet.<ref name=Bell>{{kirjaviite | Tekijä = E. T. Bell | Nimeke = Matematiikan miehiä | Sivu = 215-216 | Luku = Kunnian päivä: Poncelet | Suomentaja = Helka ja Klaus Vala | Julkaisija = WSOY | Vuosi = 1963}}</ref>
Täsmällisemmin sanottuna jokaisella projektiivisen tasogeometrian käsitteellä ja teoreemalla on ''duaalinen'' vastineensa eli toinen käsite tai teoreema siten, että jos jokainen teoreemassa tai määritelmässä esiintyvä tällainen käsite korvataan duaalisella vastineellaan, saadaan toinen teoreema tai toisen käsitteen määritelmä. Toistensa duaalisia vastineita eli lyhemmin ''duaaleja'' ovat seuraavat perustavat käsitteet:
* [[piste (geometria)|piste]] ja [[suora]],
* pisteen ja suoran väliset [[relaatio]]t "suora X kulkee pisteen Y kautta" ja "piste X on suoralla Y", sekä
* kolmen tai usemman suoran välinen relaatio "suorat leikkaavat toisensa samassa pisteessä" sekä kolmen tai useamman pisteen välinen relaatio "pisteet ovat samalla suoralla".
Myös näiden avulla määritellyillä monimutkaisemmilla käsitteillä on duaaliset vastineensa. Esimerkiksi lauseet "kaksi pistettä määrittää yksikäsitteisesti suoran" (nimittäin molempien pisteiden kautta kulkean suoran) ja "kaksi suoraa määrittää yksikäsitteisesti pisteen" (nimittäin suorien leikkauspisteen) ovat toistensa duaalisia vastineita. Näistä jälkimmäinen ei tosin euklidisessa geometriassa aina päde, sillä suorat voivat olla myös [[yhdensuuntaisuus|yhdensuuntaisia]], mutta projektiivisessa geometriassa sekin pätee, joskin tämä yhteinen piste voi olla myös äärettömyydessä oleva [[ideaalipiste]].
Vastaavanlainen duaalisuus pätee myös kolmessa ulottuvuudessa, mutta tällöin pisteen duaalinen vastine on [[taso]],<ref name=Bell /> relaation "piste sisältyy tasoon" duaalinen vastine on "taso sisältää pisteen". Sen sijaan suora on kolmessa ulottuvuudessa itsensä duaali. Täten esimerkiksi lauseet "kahden pisteen kautta kulkee yksi suora" ja "kahden tason leikkaus on yksi suora" ovat toistensa duaalisia vastineita. Yleisemminkin jokaisessa N-ulotteisessa projektiivisessa avaruudessa pätee duaalisuus ulottuvuuksien R ja N-R-1 välillä, kun R on kokonaisluku välillä 0–N. Tapauksessa N=2 tämä antaa yleisimmin tunnetun duaalisuuden, pisteiden ja suorien välisen. Duaalisuusperiaatten keksi Gergonnesta riippumatta myös [[Jean-Victor Poncelet]].
Toistensa duaalisesti vastaavien teoreemojen todistuksetkin ovat täysin analogisia ja voidaan muuntaa toisikseen vain korvaamalla niissä esiintyvät käsitteet duaalisilla vastineillaan. Projektiivisen geometrian oppikirjoissa onkin tullut tavaksi jakaa sivut <!--ehkä lukuun ottamatta jotakin johdantokappaletta, jossa tämäkin asia selitetään? --> pystyviivalla kahteen sarakkeeseen, jolloin vierekkäisissä sarakkeissa esitellään toisiaan duaalisesti vastaavat käsitteet tai teoreemat.<ref name=Bell /> Tämä tapa on peräisin Poncelet'lta.<ref name=Bell />
Koska [[taso|euklidinen taso]] voidaan käsittää projektiivisen tason osajoukoksi, tätä duaalisuusperiaatetta voidaan tietyin edellytyksin soveltaa sellaisiinkin kuvioihin, joihin projektiivisen tason "äärettömän kaukaiset" ideaalipisteet eivät sisälly. Esimerkiksi [[Brianchonin lause]] on [[Pascalin lause]]en duaalinen vastine ja keksittiinkin juuri duaalisuusperiaatteen avulla.<ref name=Bell />
==Projektiivisen geometrian aksioomat==
Jokainen geometria voidaan johtaa asianmukaisesta joukosta [[aksiooma|aksioomeja]]. Projektiivisille geometrioille tyypillinen on "elliptinen paralleeliaksiooma": ''mitkä tahansa kaksi tasoa leikkaavat toisensa yhdellä suoralla'', tai tasolla: "mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä''. Toisin sanoen projektiivisessa geometriassa ei ole yhdensuuntaisia suoria tai yhdensuuntaisia tasoja. Projektiiviselle geometrialle on esitetty monia vaihtoehtoisia aksioomajärjestelmiä.<ref name="Coxeter2003-14">{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Projective Geometry, 2. painos | Sivu = 14-15 |Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 2003 | Tunniste = ISBN 978-0-387-40623-7}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = D. Hilbert, Cohn-Vossen | Nimeke = Geometry and the imagination, 2. painos | Julkaisija = Chelsea | Vuosi = 1999}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = M. J. Greenberg | Nimeke = Euclidean and non-Euclidean geometries, 4. painos | Julkaisija = Freeman | Vuosi = 2007}}</ref>
===Whiteheadin aksioomat ===
Nämä aksioomat muotoili [[Alfred North Whitehead]] teoksessaan ''The Axioms of Projective Geometry''. Oletetaan että on kahdenlaisia olioita, pisteitä ja suoria, ja niiden välillä yksi "insidenssirelaatio": piste on suoralla. Kolme aksioomaa ovat:
* G1: Jokaisella suoralla on vähintään kolme pistettä
* G2: Mitä tahansa kahta pistettä, A ja B, kohti on olemassa yksi ja vain yksi suora, AB, jolla ne molemmat ovat.
* G3: Jos suorat AB ja CD leikkaavat, myös suorat AC ja BD leikkaavat (edellyttäen etteivät pisteet A ja D ole samat kuin B ja C).
Ehto, että jokaisella suoralla on vähintään kolme pistettä, asetetaan joidenkin surkastuneiden tapausten poissulkemiseksi. Jokainen avaruuden, joka toteuttaa nämä kolme aksioomaa, joko sisältää vain yhden suoran tai on projektiivinen avaruus jossakin ulottuvuudessa jonkin [[jakorengas|jakorenkaan]] suhteen tai on ei-desarguesilainen taso.
Näihin voidaan lisätä muita aksioomia, jotka rajoittavat koordinaattirenkaan ulottuvuutta. Esimerkiksi Coxeterin teoksessa ''Projektiivinen geometria''<ref name="Coxeter2003-14" /> viitataan Veblenin teokseen, jossa esiintyvät nämä kolme aksioomaa,<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Oswald Weblem, J. W. A. Young | Nimeke = Projective geometry | Sivut = 16, 18, 24, 45 | Julkaisija = Ginn & Co | Vuosi = 1938 | Tunniste = ISBN 978-1-4181-8285-4 | www = http://www.archive.org/details/117714799_001}}</ref> mutta niihin lisätään vielä viisi aksioomaa, jotka kiinnittävät avaruuden kolmiulotteiseksi ja määrittävät koorinaattirenkaan kommutatiiviseksi kunnaksi, joka karakteristika ei ole 2.
=== Kolmipaikkaiseen relaatioon perustuvat aksioomat ===
Projektiivinen geometria voidaan aksiomatisoida myös lähtemällä kolmipaikkaisesta relaatiosta [ABC], joka tarkoittaa, että pisteet A, B ja C (eivät välttämättä erillisiä) ovat samalla suoralla. Tämän relaation oletetaan toteuttavan seuraavat aksioomat:
* C0: [ABA]
* C1: jos A ja B ovat kaksi pistettä siten että [ABC] ja [ABD], niin [BDC].
* C2: jos A ja B ovat kaksi pistettä, on olemassa kolmas piste siten että [ABC].
* C3: jos A ja C ovat kaksi pistettä, samoin B ja D, ja jos [BCE] ja [ADE] mutta ei [ABE], on olemassa piste F siten että [ACF] ja [BDF].
Kun on annettu kaksi eri pistettä, A ja B, suora AB määritellään niiden pisteiden C uraksi, joille [ABC]. Aksioomista C0 ja C1 seuraa myös edellä mainittu Whiteheadin aksiooma G2, samoin C2:sta G1 ja C3:sta G3.
Suoran käsite yleistyy tasoiksi ja useampiulotteisiksi aliavaruuksiksi. Aliavaruus, AB…XY, voidaan tässä määritellä rekursiivisesti aliavaruuden AB…X avulla, joka sisältää kaikkien suorien YZ pisteet, kun Z on välillä AB…X. Samalla suoralla oleminen yleistyy täten "riippumattomuuden" käsitteeksi. Pistejoukko {A, B, …, Z}, [AB…Z] on riippumaton, jos {A, B, …, Z} on pienin osajoukko, joka virittää aliavaruuden AB…Z. Kolme pistettä ovat riippumattomia, jos ne eivät ole samalla suoralla. Samaan tapaan voidaan määritellä, että neljä pistettä ovat samalla tasolla, jos ne eivät ole riippumattomia.
Projektiivisiin aksioomeihin voidaan liittää uusia aksioomeja, jotka rajoittavat avaruuden ominaisuuksia. Tietyillä lisäehdoilla voidaan määrittää, mikä vähintään on avaruuden ulottuvuus. Avaruus on:
* (L1) ainakin 0-ulotteinen, jos siinä on ainakin 1 piste,
* (L2) ainakin 1-ulotteinen, jos siinä on ainakin 2 pistettä,
* (L3) ainakin 2-ulotteinen, jos siinä on ainakin 3 pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla (tai jos siinä on
ainakin kaksi suoraa tai suora ja piste, joka ei ole kyseisellä suoralla)
* (L4) ainakin 3-ulotteinen, jos siinä on ainakin 4 pistettä, jotka eivät ole samassa tasossa.
Samaan tapaan voidaan ulottuvuuksien suurin määrä päätellä siitä, mitä lisäehtoja se toteuttaa. Niinpä projektiivinen avaruus on
* (M1) enintään 0-ulotteinen, jos siinä ei ole useampaa kuin 1 piste,
* (M2) enintään 1-ulotteinen, jos siinä ei ole useampaa kuin 1 suora,
* (M3) enintään 2-ulotteinen, jos siinä ei ole useampaa kuin 1 taso,
ja niin edelleen. Aksioomasta C3 seuraa yleinen teoreema, jonka mukaan kaikki samassa tasossa olevat suorat leikkaavat, mikä idea onkin ollut koko projektiivisen geometrian peruslähtökohta. Niinpä edellä oleva ehto M3 voidaan esittää myös muodossa, että projektiivinen avaruus on enintään 2-ulotteinen, jos siinä kaikki suorat leikkaavat toisensa.
Yleensä oletetaan, että projektiiviset avaruudet ovat vähintään kaksiulotteisia. Toisinaan kun tarkastellaan nimenomaan projektiivisia tasoja, lisäaksioomaksi otetaan jokin ehdon (M3) muotoilu. Esimerkiksi Eves valitsi aksioomiksi edellä esitetyt C1, C2, L3 ja M3. Aksiooma C3 suraa tällöin suoraan ehdosta M3 eikä sitä tarvitse erikseen olettaa.
=== Projektiivisen tason aksioomat ===
[[Insidenssigeometria]]a käsitellään useimmiten
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = M. K. Bennett | Nimeke = Affine and Projective Geometry | Sivu = 4 | Julkaisija = Wiley | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1995 | Tunniste = ISBN 0-471-11315-8}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum | Nimeke = Projective Geometry: from foundations to applications | Sivu = 8 | Julkaisija = Cambridge University Press | Julkaisupaikka = Cambridge | Vuosi = 1998 | Tunniste = ISBN 0-521-48277-1}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Judith N. Cederberg | Nimeke = A Course in Modern Geometries | Sivu = 9 | Julkaisija = Springer-Verlag | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 2001 | Tunniste = ISBN 0-387-98972-2}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Rey Casse | Nimeke = Projective Geometry: An Introcuction | Sivu = 29 | Julkaisija = Oxford University Press | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 2006 | Tunniste = ISBN 0-19-929886-6}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Lynn E. Garner | Nimeke = An Outline of Projective Geometry| Sivu = 7 | Julkaisija = North Holland | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1981 | Tunnuste = ISBN 0-444-00423-8}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = D. R. Hughes, F. C. Piper | Nimeke = Projective Planes | Sivu = 77 | Julkaisija = Springer | Vuosi = 1973}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = R. J. Mihalek | Nimeke = Projective Geometry and Algebraic Structures | Sivu = 29 | Julkaisija = Academic Press | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1972 | Tunnuste = ISBN 0-12-495550-9.}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Burkard Polster | Nimeke = Projective Geometry and Algebraic Structures | Sivu = 5 | Julkaisija = Academic Press | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1998 | Tunnuste = ISBN 0-387-98437-2}}</ref>
<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Pierre Samuel | Nimeke = Projective Geometry | Sivu = 21 | Julkaisija = Springer-Verlag | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1988 | Tunnuste = ISBN 978-1-4181-8285-4}}</ref> siten, että [[Fanon taso]] (PG(2, 2) on pienin äärellinen projektiivinen taso. Projektiivisen tason aksioomat, joista tämä voidaan johtaa, ovat tällöin seuraavat:
* (P1) Mitkä tahansa kaksi pistettä määrittävät yksikäsitteisesti suoran, joka kulkee molempien kautta.
* (P2) Mitkä tahansa kaksi suoraa määrittävät yksikäsitteisesti pisteen, jonka kautta molemmat kulkevat.
* (P3) On olemassa ainakin neljä pistettä, joista kolme ei ole samalla suoralla.
Coxterin teoksessa ''Introduction to Geometry''<ref>{{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = Introduction to Geometry | Sivu = 229–234 | Julkaisija = John Wiley & Sons | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1969 | Tunniste = ISBN 0-471-50458-0}}</ref> käytetään Bachmannin kehittämää rajoittavampaa projektiivisen tason määritelmää käyttämällä viittä aksioomaa, joihin kuuluu myös [[Pappoksen lause|Pappoksen kuusikulmiolause]]. Täten tulevat suljetuiksi pois ei-Desarguesilaiset tasot samoin kuin projektiiviset tasot, joiden karakteristika on 2 eli ne, jotka eivät toteuta Fanon aksioomaa. Tämän suppeamman joukon tasot muituttavat enemmän [[reaalinen projektiivinen taso|reaalista projektiivista tasoa]].
{{käännös|:en:Projective geometry}}
== Katso myös ==
* [[Projektiivisen geometrian nelikulmiolause]]
* [[Kaksoissuhde]]
* [[Möbiuskuvaus]]
* [[Desarguesin lause]]
* [[Pappoksen lause|Pappoksen kuusikulmiolause]]
* [[Pascalin lause]]
== Lähteet ==
* {{kirjaviite | Tekijä = F. Bachmann | Nimeke = Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff | Julkaisija = Springer | Julkaisupaikka = Berliini | Vuosi = 1959}}
* {{kirjaviite | Tekijä = H. S. M. Coxeter | Nimeke = The Real Projective Plane, 3. painos | Julkaisija = Springer Verlag | Vuosi = 1995}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Peter Dembowski | Nimeke = Finite geometries | Julkaisija = Springer Verlag | Julkaisupaikka = New York | Kirjasarja = Ergebnisse der Mathematik un ihrer Grenzbegiete, osa 44 | mr=0233275 | Vuosi = 1968 | Tunniste = ISBN 3-540-61786-8}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Howard Eves | Nimeke = Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, 3. painos | Julkaisija = Dover | Vuosi = 1997}}
* {{kirjaviite | Tekijä = Richard Hartley, Andrew Zisserman | Nimeke = Multiple view geometry in computer vision, 2. painos | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 2003 | Tunniste = 0-521-54051-8}}
* {{kirjaviite | Robin Hartshorne | Nimeke = Foundations of Projective Geometry, 2. painos | Julkaisija = Ishi Press | Vuosi = 2009 | Tunniste = ISBN 978-4-87187-837-1}}
=== Viitteet ===
{{viitteet}}
== Aiheesta muualla ==
*[http://cc.oulu.fi/~matlehti/geometria/geom13_9.pdf
*[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.17.1329 Projective Geometry for Machine Vision] — Joe Mundy, Andrew Zisserman.
*[http://xahlee.org/projective_geometry/projective_geometry.html Notes], perustuu Coxetertin teokseen ''The Real Projective Plane''.
*[http://lear.inrialpes.fr/people/triggs/pubs/isprs96/isprs96.html Projective Geometry for Image Analysis] — Roger Mohr, Bill Triggs.
*[http://www.geometer.org/mathcircles/projective.pdf Projective Geometry.] — Tom Davis.
*[http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdf The Grassmann method in projective geometry] Muodostettu kolmesta Cesare Burali-Fortin huomauksesta, jotka koskevat ulkoisen algebran soveltamista projektiiviseen geometriaan
*[http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_diff._geom._following_grassmann.pdf C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann"] (Kirjan englanninkielinen käännös)
*[http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/kummer_-_rectilinear_ray_systems.pdf E. Kummer, "General theory of rectilinear ray systems"] (Englanninkielinen käännös)
*[http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/pasch_-_focal_and_singularity_surfaces.pdf M. Pasch, "On the focal surfaces of ray systems and the singularity surfaces of complexes"] (Englanninkielinen käännös)
[[Luokka:Geometria]]
| |||