Ero sivun ”Funktion differentiaali” versioiden välillä

1 165 merkkiä lisätty ,  5 vuotta sitten
→‎Lähteet: ilman lähteitä
(viite)
(→‎Lähteet: ilman lähteitä)
Funktion lisäystä voidaan siksi approksimoida differentiaalin avulla hyvinkin tarkasti, kun ''h'' on riittävän pieni. Silloin on rajallemenon loppuvaiheessa jo
:<math>\Delta y \approx dy.</math> <ref name=Infinitesimal/><ref name=em/><ref name=khj2_53/><ref name=hs_8/>
 
== Usean muuttujan funktiot ==
Usean muuttujan funktio, joka saa reaalilukuarvoja, on [[skalaarikenttä]] <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. Funktio ''f'' on differentioituva tarkastelupisteessä <math>\bold{x_0} \in \mathbb{R}^n</math>, jos sillä on olemassa siinä pisteessä, ja pisteen lähiympäristössä, kaikkien muuttujiensa osittaisderivaatat. Silloin funktiolla on olemassa myös gradientti ja funktiolle voidaan kirjoittaa differentiaalikehitelmä
:<math>f(\bold{x_0}+\bold{h})-f(\bold{x_0})= \nabla f(\bold{x_0}) \cdot \bold{h} + ||\bold{h}|| \epsilon(\bold{x_0},\bold{h}),</math>
missä <math>\bold{x_0}, \, \bold{h} \in \mathbb{R}^n</math> ja kertolasku on vektorien pistetulo. Kehitelmässä lauseke
:<math>\nabla f(\bold{x_0}) \cdot \bold{h}</math>
on funktion differentiaali ''df''. Merkintä <math>\nabla f(\bold{x_0})</math> (lue ''"nabla f"'') tarkoittaa funktion gradienttia pisteessä <math>\bold{x_0}</math>. Gradientti ilmaisee funktion suunnatun derivaatan suurimman arvon ja suunnan. Kun gradientti kerrotaan sunnalla <math>\bold{h}</math>, saadaan tarkastelupisteen suunnatun derivaatan arvo suunnassa <math>\bold{h}</math>.
 
== Lähteet ==
122 762

muokkausta