Ero sivun ”Vektorikimppu” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Jmk (keskustelu | muokkaukset) selv. linkki |
Laajennettu |
||
Rivi 1:
'''Vektorikimppu''' on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään [[vektoriavaruus]]. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "[[jatkuvuus|jatkuvasti]]", ts. tarvitaan [[topologia]]n käsitteistö.
Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon <math>X</math>
=== Määritelmä ===
Olkoon <math>X,E</math> topologisia avaruuksia, ja olkoon <math>\pi:E\to X</math> [[jatkuva kuvaus]]. Tällöin pari <math>(E,
\pi)</math> on '''topologinen vektorikimppu''', jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet <ref name=Milnor>{{kirjaviite| Nimeke=Characteristic Classes | Julkaisija = Princeton University Press | Vuosi = 1974 | Tekijä = John W. Milnor ja James D. Stasheff}}</ref>.
* Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite <math>\{U_i\}</math>, joille <math>\pi^{-1}(U_i) \simeq U_i \times \R^n</math> ja <math>\pi^{-1}(x)=\R^n</math> kaikille <math>x \in X </math>. Eli on olemassa [[homeomorfismi]] <math>\phi_i:\pi^{-1}(U_i)
\to U_i \times \R^n</math>.
* Yhteensopivuus: Tranlaatiokuvaukset <math>\psi_{ij}=\phi_i\circ\phi_j^{-1} : (U_j \cap U_i) \times \R^n \to (U_j \cap U_i) \R^n</math> ovat homemorfismeja ja lineaarisia <math>\R^n</math> koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säijekuvauksia (''bundle map'').
Avaruus <math>X</math> on pohja-avaruus, ja <math>E</math> on nk. totaaliavaruus. Kuvaus <math>\pi</math> on projektio, ja on esimerkki '''topologisesta submersiosta'''. Kokonaisluku <math>n</math> on vektorikimpun ulottuvuus.
Samalla lailla voidaan määriellä sileät vektorkimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan [[monisto|sileiksi monistoiksi]]. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.
=== Säijekuvaukset ===
Olkoot <math>(E,\pi_E),(F,\pi_F)</math> topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat <math>X,Y</math>ja ulottuvuudet <math>n,m</math>, vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus <math>f:E \to F</math> on säijekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätee.
* Kommutointi: On olemassa kuvaus <math>g:X \to Y</math>, jolle <math>g\circ \pi_E = \pi_F \circ f</math>.
* Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, <math>x \in X</math>, pätee, että <math>f:\pi_E^{-1}(x) \simeq \R^n \to \pi_F^{-1}(g(x))\simeq \R^m</math>.
Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määriettelemme sileät säijekuvaukset. Jos kuvaus <math>f</math> on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen [[käänteiskuvaus]] on myös säijekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia.
=== Sektiot ===
Sektiot yleistävät [[vektorikenttä|vektorikenttiä]]. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka Euklidisen avaruuden <math>\R^n</math> tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden <math>\R^n</math> kanssa. Yleisesti ottaen sektio <math>\sigma:X \to E</math> on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen <math>x \in X </math> vektorin, joka kuuluu joukkoon <math> \pi^{-1}(x)</math>, eli
<math>\pi \circ \sigma = \text{Id},</math>
missä <math>\text{Id}</math> on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot ''nolla-sektio'', jossa <math>\sigma(x) = 0 \in \R^n \simeq \pi^{-1}(x) \subset E</math>.
{{Viitteet}}
[[Luokka:Topologia]]
| |||