Ero sivun ”Wilsonin lause” versioiden välillä

Jos ''p'' on pariton alkuluku, joukko ''G'' = ('''Z'''/''p'''''Z''')^× = {1, 2, ... ''p'' − 1} muodostaa multiplikatiivisen ryhmän [[kongruenssi (lukuteoria)|modulo ''p'']] suhteen. Tällöin kaikilla ''G'':n alkioilla ''a'' on olemassa yksikäsitteinen käänteisalkio ''b'', jolle ''ab'' ≡ 1 (mod ''p'') ja joka on siis myös ''G'':n alkio. Jos ''a'' ≡ ''b'' (mod ''p''), on ''a''² ≡ 1 (mod ''p''), jolloin ''a''² − 1 = (''a'' + 1)(''a'' − 1) ≡ 0 (mod ''p''), ja koska ''p'' on alkuluku, on oltava ''a'' ≡ 1 tai −1 (mod ''p''), joten ''a'' = 1 tai ''a'' = ''p'' − 1.

 

 

Toisaalta olkoon kongruenssirelaatio voimassa [[yhdistetty luku|yhdistetylle luvulle]] ''n''. Tällöin ''n'':llä on aito tekijä ''d'', 1 < ''d'' < ''n''. Selvästi ''d'' jakaa (''n'' &minus; 1)!. Mutta kongruenssin perusteella ''d'' jakaa myös luvun (''n'' &minus; 1)! + 1, joten ''d'' jakaa ykkösen, mikä on ristiriita.