Ero sivun ”Infinitesimaali” versioiden välillä
[katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
KLS (keskustelu | muokkaukset) Robinsonin infinitesimaalit ovat hyperreaalilukuja |
p kh |
||
Rivi 1:
'''Infinitesimaali'''
Matematiikassa infinitesimaalin käsite liittyy [[analyysi (matematiikka)|analyysin]] eli lähinnä [[differentiaalilaskenta|differentiaali-]] ja [[integraalilaskenta|integraalilaskennan]] varhaisimpiin, mutta myös
== Historia ==
Ensimmäisenä infinitesimaalin käsitettä käytti [[Arkhimedes]] noin 250 eaa.<ref>Archimedes, ''The Method of Mechanical Theorems''; see [[Archimedes Palimpsest]]</ref>. Monien hänen käyttämiensä menetelmien voidaan jo katsoa ennakoineen integraalilaskentaa. Myös [[Intia]]ssa useat matemaatikot kuten [[Bhāskara II]] käyttivät vastaavanlaisia menetelmiä jo 1100-luvulta lähtien.
Kun Leibniz ja Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla kehittivät differentiaali- ja integraalilaskennan, heidän käyttämänsä päättelyt perustuivat oleellisesti infinitesimaaleihin. Tyypillinen todistus saattoi kuulua seuraavasti:
::On määriteltävä [[funktio]]n ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f′''(''x''). Olkoon d''x'' infinitesimaali.
:::{|
Rivi 17:
|-
|}
::Näin ollen funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> derivaatta oli
:::{|
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx +
|-
|
Rivi 32:
::koska d''x'' on infinitesimaalisen pieni.
Vaikka tämä todistelu oli intuitiivisesti uskottava ja johti oikeaan tulokseen, se ei ollut loogisesti aukoton. Varsinkin filosofit kuten [[George Berkeley]] esittivät siihen painavia vastaväitteitä
Infinitesimaali määriteltiin naiivisti nollasta poikkeavaksi luvuksi, jonka [[itseisarvo]] on pienempi kuin mikä tahansa muu positiivinen luku. Tarkkaan ottaen tästä seurasi kuitenkin, ettei sellaisia lukuja ole. Jos ''h'' on infinitesimaali, voidaanko se edelleen jakaa kahdella? Ellei voida, onko se yhä luku? Lisäksi voitaisiin olettaa, että infinitesimaalin [[käänteisluku|käänteisluvun]] tulisi olla ääretön.
Useimmat aikakauden matemaatikot ja varsinkin fyysikot jättivät nämä vastaväitteet kuitenkin vähälle huomiolle. Näistä loogisista heikkouksista huolimatta infinitesimaalin käsitteeseen perustunutta analyysiä voitiin kuitenkin erittäin menestyksellisesti soveltaa monilla aloilla, erityisesti [[fysiikka|fysiikassa]] ja [[taivaanmekaniikka|taivaanmekaniikassa]].
Vasta 1800-luvulla [[Karl Weierstrass]] määritteli differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet uudelleen niin, ettei infinitesimaaleja tarvittu. Täten ne saatiin vihdoin loogisesti pätevälle pohjalle. Keskeisin käsite, jota tällöin tarvittiin, oli [[raja-arvo]]. Määritelmän mukaan reaaliarvoisella reaalimuuttujan funktiolla <math>f</math> on raja-arvo <math>L</math> pisteessä <math>c</math>, jos jokaista positiivista lukua <math>\epsilon>0</math> kohti, olipa se kuinka pieni tahansa, on olemassa positiivinen luku <math>\delta>0</math> siten, että
Rivi 44:
Tälle raja-arvolle käytetään merkintää
<center><math> \lim_{x \to c}f(x) = L </math> (luetaan ''<math>f(x)</math>:n raja-arvo, kun <math>x</math> lähestyy <math>c</math>:tä,
Tämän avulla funktion ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> [[derivaatta]] ''f′''(''x'') määriteltiin aikaisemmasta poiketen seuraavasti:
Rivi 50:
<center><math>f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math></center>
Myös tämän määritelmän avulla voidaan osoittaa, että esimerkiksi funktion ''x''<sup>2</sup> derivaatta on
Kun Weierstrassin määritelmät tulivat tunnetuiksi, infinitesimaalin käsitettä pidettiin matematiikassa pitkät ajat täysin tarpeettomana ja vanhentuneena. Vuonna [[1960]] [[Abraham Robinson]] kuitenkin osoitti, että on määriteltävissä [[reaaliluku]]jen joukkoa laajempikin lukualue, [[hyperreaaliluku|hyperreaaliluvut]], jossa on myös infinitesimaalisia lukuja.
== Viitteet ==
|