Ero sivun ”Ptolemaioksen lause” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
Ei muokkausyhteenvetoa |
|||
Rivi 1:
'''Ptolemaioksen
Toinen Ptolemaioksen lause kuuluu seuraavasti: Jos nelikulmio ABCD on syklinen, niin lävistäjille AC ja BD on voimassa <math>\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot AD+CB\cdot CD}{BA\cdot BC+DA\cdot DC}</math><ref>http://geome3atc.wordpress.com/2010/08/06/ptolemys-theorems/</ref>
== Ensimmäisen Ptolemaioksen lauseen todistus ==
Tarkastellaan nelikulmiota ABCD. Kostruoidaan nyt piste E siten, että kolmiot ACD ja AEB ovat yhtenevät (<math>\angle ABE=\angle CDA</math> ja <math>\angle BEA=\angle CAD</math>). Tällöin <math>\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DC},</math>
joten
Rivi 16 ⟶ 17:
joten pisteet <math>E</math>, <math>B</math> ja <math>C</math> muodostaval kolmion. Siten kolmioepäyhtälön nojalla on voimassa <math>EC<EB+BC</math>. Edelleen saadaan aiemmin johdetusta identiteetistä <math>\frac{AC\cdot DB}{AD}<\frac{AB\cdot DC}{AD}+BC.</math>
Siis <math>AC\cdot DB<AB\cdot DC+BC\cdot AD.</math>
Nämä yhdessä antavat Ptolemaioksen ensimmäisen lauseen:
<math>AC\cdot DB\leq AB\cdot DC+BC\cdot AD</math>, missä yhtäsuuruus esiintyy vain jos <math>ABCD</math> on jännenelikulmio.
==Viitteet==
{{Viitteet}}
[[Luokka:Geometria]]
[[Luokka:Epäyhtälöt]]
| |||