Wikipedia

Ero sivun ”Eulerin suora” versioiden välillä

Selaa historiaa interaktiivisesti
[arvioimaton versio][arvioimaton versio]
← Vanhempi muutosUudempi muutos →
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
VisuaalinenWikiteksti
p linkkejä
lisää tietoa, kuva, lähteitä, linkkejä jne.
Rivi 1:
[[kuva:Triangle.EulerLine.svg|thumb|220px|Eulerin suora (punainen) on suora linja jolle kolmion eri korkeusjanojen leikkauspisteet sekä [[yhdeksän pisteen ympyrä]]n keskipiste (punainen)sijoittuvat.]]
[[File:Euler line.svg|thumb]]
 
'''Eulerin suora''' on [Oiler[geometria]]ssa oneräiden kuuluisa[[kolmio]]n geometrian[[merkilliset pisteet|merkillisten pisteiden]] tuloskautta vuodeltakulkeva 1765suora. SenEnsimmäiset mukaanEulerin suoralla tunnetut pisteet olivat [[kolmion painopiste]], [[kolmion ympäri piirretty ympyrä|kolmion ympäri piirretyn ympyrän]] keskipiste ja kolmion [[ortokeskus|korkeusjanojen leikkauspiste]]. ovatNykyään samallatunnetaan suorallamuitakin merkillisiä pisteitä, jotka sijaitsevat Eulerin suoralla. SeSuora on nimetty [[Leonhard Euler]]in mukaan. <ref name=incenter/><ref name=ck_euler/><ref name=EulerLine/>
 
== Viitekehys ==
Kolmion merkilliset pisteet tunneettiin jo [[antiikki|antiikin]] kreikassa. Silloin oli huomattu, että kolmion [[korkeusjana]]t leikkasivat toisensa kolmion sisällä aina oli kolmion muoto mikä tahansa. Tätä ominaisuutta pidettiin "merkillisenä". Myös kolmion [[kulmanpuolittaja|kulmanpuolittajat]] ja [[keskinormaali]]t tiedettiin tekevän näin.
 
Vasta klassisella ajalla löydettiin uusia "merkillisiä pisteitä", joista jotkin olivat keskenään samalla suoralla. Eulerin suoran lisäksi tunnetaan esimerkiksi ''Nagelin suora'', ''Gergonnen suora'' ja ''Soddyn suora'', joiden nimet ovat lähteistään vapaasti suomennettuja.<ref name=GergonneLine/><ref name=SoddyLine/><ref name=NagelLine/> Nämä suorat kuuluvat suurempaan joukkoon, josta useimmat ovat nimettömiä suoria. <ref name=CentralLine/>
 
Nykyään merkillisiä pisteitä tunnetaan yli 5&nbsp;000 ja Eulerin suoralle niistä osuu yli 100. Merkilliset pisteet on luetteloitu muun muassa [[merkilliset pisteet|Kimberlingin merkillisten pisteiden ensyklopediassa]] tunnuksillä <math>\scriptstyle X_i</math>, missä ''i'' on pisteen indeksi eli järjestysnumero. Eulerin suoran merkitys on ainakin historiallinen, koska se on ensimmäinen tällainen havaittu suora.<ref name=ck_euler/>
 
== Ominaisuuksia ja erityispiirteitä ==
Eulerin suoralta tunnettiin ensin ''keskinormaalien leikkauspiste'' (O = <math>\scriptstyle X_3</math>), ''korkeusjanojen leikkauspiste'' eli [[ortokeskus]] (H = <math>\scriptstyle X_4</math>) ja ''mediaanien leikkauspiste'' eli [[kolmion painopiste]] (G = <math>\scriptstyle X_2</math>). Näistä <math>\scriptstyle X_3</math> on samalla kolmion [[kolmion ympäri piirretty ympyrä|ympäri piirretyn ympyrän]] keskipiste. Neljäs tunnettu piste Eulerin suoralla on [[yhdeksän pisteen ympyrä]]n (N = <math>\scriptstyle X_5</math>) keskipiste.<ref name=ck_euler/>
 
Tasasivuisessa kolmiossa pisteet <math>\scriptstyle X_2</math>, <math>\scriptstyle X_3</math>, <math>\scriptstyle X_4</math> ja <math>\scriptstyle X_5</math> yhtyvät yhdeksi pisteeksi. Muissa kolmioissa ne ovat aina erillään toisistaan. Pisteiden välimatkojen suhteet säilyvät samoina, vaikka referenssikolmion muoto muuttuisikin. Mikäli mukaan otetaan vielä yksi merikillinen piste, ''de Longchampsin piste'' (L = <math>\scriptstyle X_{20}</math>), suhtautuvat järjestettyjen pisteiden <math>\scriptstyle X_{20}</math>−<math>\scriptstyle X_3</math>−<math>\scriptstyle X_2</math>−<math>\scriptstyle X_5</math>−<math>\scriptstyle X_4</math> eli L−O−G−N−H välimatkat suhdeluvuilla 6−2−1−3.<ref name=ck_euler/>
 
Eulerin suora leikkaa ''Soddyn suoran'' ''de Longchampsin pisteessä'' (<math>\scriptstyle X_{20}</math>) <ref name=SoddyLine/>, ''Gergonnen suoran'' ''Evansin pisteessä'' <math>\scriptstyle X_{1375}</math> <ref name=GergonneLine/> ja ''Nagelin suoran'' painopisteessä G eli <math>\scriptstyle X_2</math>.<ref name=NagelLine/>
 
==Todistus==
Olkoon R, S, T kolmion ABC sivujen keskipisteet, H ABC:n ortokeskus, O ABC:n ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja M ABC:n keskijanojen leikkauspiste. Silloin jana RO on kohtisuorassa janan ST kanssa, jana SO kohtisuorassa janan RT kanssa, joten O on RST ortokeskus ja ABC on yhdenmuotoinen ABC:n kanssa. Lisäksi AR ja ST ovat suunnikkaan ATRS lävistäjät, joten ne puolittavat toisensa. Tästä seuraa, että M on myös kolmion RST keskijanojen leikkauspiste. Yhdenmuotoisuudesta seuraa, että molemmissa kolmioissa OMR ja HMA kärjen, ortokeskuksen ja painopisteen muodostamat kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Siis kulma OMR = kulma HMA. Tämä tarkoittaa, että O, M ja H ovat samalla suoralla.
 
== Historia ==
Myös [[Eulerin ympyrä]]n keskipiste on Eulerin suoralla.
Vuonna 1765 Leonard Euler osoitti, että kaikissa kolmioissa ortokeskus, ympäröivän ympyrän keskipiste ja painopiste ovat kollineaarisia.<ref name=e1763/>
 
==Lähteet==
Rivi 12 ⟶ 28:
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=incenter>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Incenter.html| Nimeke = Incenter | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
}}▼
 
* <ref name=EulerLine>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EulerLine.html| Nimeke = Euler Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
== Aiheesta muualla ==
[http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html Lisää pisteitä, jotka sijaitsevat Eulerin suoralla.]
 
* <ref name=CentralLine>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/CentralLine.html| Nimeke = Central Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
{{Tynkä/Matematiikka}}
 
[[Luokka:Geometria]]
* <ref name=NagelLine>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/NagelLine.html| Nimeke = Nagel Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
 
* <ref name=SoddyLine>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/SoddyLine.html| Nimeke = Soddy Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
 
* <ref name=GergonneLine>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/GergonneLine.html| Nimeke = Gergonne Line | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
 
* <ref name=e1763>{{cite journal | author = Euler, Leonhard | authorlink = Leonhard Euler | title = Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum | journal = Novi Commentarii academiae scientarum imperialis Petropolitanae | volume = 11 | year = 1767 | pages = 103–123 | url = http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E325.html | id = <!--Enestrom number-->E325}} Reprinted in ''Opera Omnia'', ser. I, vol. XXVI, pp.&nbsp;139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953.</ref>
 
* <ref name=ck_euler>{{Verkkoviite | osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/eulerline.html | nimeke = Euler line | tekijä = Kimberling, Clark | tiedostomuoto = html | julkaisu = Tekijän kotisivut | ajankohta = 2013 | julkaisupaikka = Evansville | julkaisija = Evansvillen Yliopisto | viitattu = 20.5.2013 | kieli = {{en}} }}</ref>
▲}}
Noudettu kohteesta ”https://fi.wikipedia.org/wiki/Eulerin_suora”