Versio 20. huhtikuuta 2013 kello 21.26 muokkaa J Hokkanen (keskustelu \| muokkaukset) seulojat 213 084 muokkausta Ei muokkausyhteenvetoa ← Vanhempi muutos		Versio 21. huhtikuuta 2013 kello 18.07 muokkaa kumoa J Hokkanen (keskustelu \| muokkaukset) seulojat 213 084 muokkausta p laajennus Uudempi muutos →
Rivi 1: [[Tiedosto:Triangle.Orthocenter.svg\|thumb]] '''Ortokeskus''' liittyy [[geometria]]ssa [[kolmio]]ihin, jossa kolmion [[korkeusjana]]t, tai niiden jatkeet, kohtaavat yhteisessä leikkauspisteessä, ortokeskuksessa. Ortokeskus on eräs [[kolmion merkilliset pisteet\|kolmion merkillisestä pisteistä]] ja se on luetteloitu ''Kimberlingin pisteiden luetteloon'' tunnuksella <math>\scriptstyle X_{4}.</math> <ref name=ck/><ref name=kurittu115/> '''Ortokeskus''' on geometriassa käytetty termi, jolla tarkoitetaan kolmion korkeusjanojen leikkauspistettä. Leikkauspiste sijaitsee kolmion sisällä, jos kolmio on [[teräväkulmainen kolmio\|teräväkulmainen]]. Ortokeskus on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella <math>\scriptstyle X_{4}.</math> <ref name=ck>{{Verkkoviite \| osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html \| nimeke = Encyclopedia \| tekijä = Kimberling, Clark \| tiedostomuoto = html \| julkaisu = Tekijän kotisivut \| ajankohta = 2013 \| julkaisupaikka = Evansville \| julkaisija = Evansvillen Yliopisto \| viitattu = 20.4.2013 \| kieli = {{en}} }}</ref>▼ Kun neljästä pisteestä, jotka sisältävät kolmion kolme kärkeä ja ortokeskuksen, valitaan mitkä kolme tahansa, muodostuu niistä kolmio, jonka ortokeskuksena on jäljelle jäänyt neljäs piste. Neljästä pisteestä on syntynyt ortosentrinen systeemi.<ref name=ck/> Ortokeskus yhdessä kolmion keskipisteen, kolmion ympäri piirretyn ympyrän ja [[yhdeksän pisteen ympyrä]]n keskipisteen kanssa sijaitsevat samalla suoralla, [[Eulerin suora]]lla. Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste sijaitsee ortokeskuksen ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän puolivälissä ja etäisyys kolmion keskipisteen ja ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen välillä on puolet kolmion keskipisteen ja ortokeskuksen välisestä etäisyydestä. == Sijainti kolmiossa == ~~Ortokeskuksen [[isogonaalinen konjugaatti]] on kolmion ympäri piirretyllä ympyrän keskipiste.~~ Ortokeskus sijaitsee kolmion sisällä, jos kolmio on [[teräväkulmainen kolmio\|teräväkulmainen]], suoran kulman kärjessä, jos kolmion on [[suorakulmainen kolmio\|suorakulmainen]] ja ulkopuolella, jos kolmio on [[tylppäkulmainen kolmio\|tylppäkulmainen]].<ref name=math_orthoc/><ref name=trilin9/> === Trilineaariset koordinaatit === Pisteen [[trilineaariset koordinaatit]] ovat <math>\scriptstyle \sec \alpha \ : \ \sec \beta\ : \ \sec \gamma</math> ja [[barysentrinen koordinaatti\|barysentriset koordinaatit]] ovat <math>\scriptstyle \tan \alpha \ : \ \tan \beta \ : \ \tan \gamma </math>.<ref name=ck/>▼ Pisteen [[trilineaariset koordinaatit]] ovat :<math>\sec \alpha \ : \ \sec \beta\ : \ \sec \gamma = \frac{1}{a(b^2+c^2-a^2)}\ : \ \frac{1}{b(c^2+a^2-b^2)}\ : \ \frac{1}{c(a^2+b^2-c^2)}</math>. <ref name=ck/><ref name=trilin10/> === Barysentriset koordinaatit === ▲Pisteen ~~[[trilineaariset koordinaatit]] ovat <math>\scriptstyle \sec \alpha \ : \ \sec \beta\ : \ \sec \gamma</math> ja~~ [[barysentrinen koordinaatti\|barysentriset koordinaatit]] ovat <math>~~\scriptstyle~~ \tan \alpha \ : \ \tan \beta \ : \ \tan \gamma </math>.<ref name=ck/> == Ympyrä == [[File:Altitudes and orthic triangle.PNG\|thumb\|150px\|Tummansininen kolmio on ortokolmio, jonka sisäisen ympyrän keskipiste yhtyy ortokeskukseen.]] Korkeusjanojen ''kantapisteet'' voidan yhdistää uudeksi [[sisäkolmio]]ksi, jota kutsutaan [[ortokolmio]]ksi. Sen [[kulmanpuolittaja]]t yhtyvät korkeusjanoihin ja leikkaavat samassa ortokeskuksessa. Ortokolmion [[kolmion sisään piirretty ympyrä\|sisään piirrettävän ympyrän]] keskipiste on tuo samainen ortokeskus.<ref name=math_orthoc/><ref name=kurittu116/> == Eulerin suora == Ortokeskus '''''H''''' on eräs [[Eulerin suora]]lle osuvista monista pisteistä. Muita vastaavia antiikin ajoista asti tunnettuja pisteitä ovat kolmion [[painopiste (geometria)\|painopiste]] '''''G''''' ja [[korkeusjana\|korkeusjanojen]] leikkauspiste '''''O'''''.<ref name=trilin24/> [[Kollineaarisuus\|Kollineaarisuuden]] lisäksi ne sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta tasavälein niin, että '''''HG = 2•GO'''''.<ref name=harju25/><ref name=harju48/><ref name=kurittu118/> == Lähteet == * {{Verkkoviite \| osoite = https://jyx.jyu.fi/dspace/bitstream/handle/123456789/40300/URN%3ANBN%3Afi%3Ajyu-201211132988.pdf?sequence=1 \| nimeke = Trilineaariset koordinaatit \| tekijä = Koivulahti, Perttu \| tiedostomuoto = pdf \| selite = tutkielma \| ajankohta =2012 \| julkaisupaikka = Jyväskylä \| julkaisija = Jyväskylän Yliopisto \| viitattu = 20.4.2013 }} {{viitteet}}▼ * {{Verkkoviite \| osoite =http://users.utu.fi/harju/geometria/geometria2012.pdf \| nimeke =Geometrian lyhyt kurssi \| tekijä =Harju, Tero \| tiedostomuoto =pdf \| selite =luentomoniste \| ajankohta =2012 \| julkaisupaikka = Turun yliopisto \| viitattu = 20.4.2013}} * {{Verkkoviite \| osoite = http://users.jyu.fi/~laurikah/Geometria/Geometria2006.pdf \| nimeke = Geometria \| tekijä = Kurittu Lassi \| tiedostomuoto = pdf \| selite = luentomoniste\| julkaisu = \| ajankohta =2006 \| julkaisupaikka =Jyväskylän \| julkaisija =Jyväskylän Yliopisto \| viitattu = 20.4.2013}} === Viitteet === ▲{{viitteet}}\|viitteet= * <ref name=math_orthoc>Math Open Reference: [http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html Orthocenter of Triangle]</ref> * <ref name=math_constr_orthoc>Math Open Reference: Orthocenter of a Triangle - [http://www.mathopenref.com/constorthocenter.html Geometry construction using a compass and straightedge]</ref> ▲'''Ortokeskus''' on geometriassa käytetty termi, jolla tarkoitetaan kolmion korkeusjanojen leikkauspistettä. Leikkauspiste sijaitsee kolmion sisällä, jos kolmio on [[teräväkulmainen kolmio\|teräväkulmainen]]. Ortokeskus on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa tunnuksella <math>\scriptstyle X_{4}.</math>* <ref name=ck>{{Verkkoviite \| osoite = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html \| nimeke = Encyclopedia \| tekijä = Kimberling, Clark \| tiedostomuoto = html \| julkaisu = Tekijän kotisivut \| ajankohta = 2013 \| julkaisupaikka = Evansville \| julkaisija = Evansvillen Yliopisto \| viitattu = 20.4.2013 \| kieli = {{en}} }}</ref> * <ref name=trilin9>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.9</ref> * <ref name=trilin10>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.10</ref> * <ref name=trilin24>Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.24</ref> * <ref name=harju25>Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25</ref> * <ref name=harju48>Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.48</ref> * <ref name=kurittu115>Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.115</ref> * <ref name=kurittu116>Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.116</ref> * <ref name=kurittu118>Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118</ref> }} == Aiheesta muualla == * http://www.pballew.net/orthocen.html * http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa06/Panapoi/assignment_8/assignment8.htm * http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf * http://www.uff.br/trianglecenters/X0004.html * http://books.google.fi/books?id=NIxExnr2EjYC&pg=PA292&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false [[Luokka:Geometria]]

Ero sivun ”Ortokeskus” versioiden välillä