Avaa päävalikko

Muutokset

1 570 merkkiä lisätty ,  6 vuotta sitten
Poistin eräät kommenttiin piilotetut kääntämättömät osuudet. Lisäsin sen sijaan muita, ehkä mielenkiintoisempia tai ainakin helppotajuisempia esimerkkejä symmetriasta ja asymmetriasta.
 
Kaksi­ulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peili­kuvia. Niinpä [[Neliö (geometria)|neliöllä]] on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. [[Ympyrä]]llä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keski­pisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos [[kolmio]]lla on symmetria-akseli, se on [[tasakylkinen kolmio|tasa­kylkinen]].
 
Tasokuvio voidaan siirtää tasossa trans­laatioiden ja rotaa­tioiden avulla peili­kuvansa päälle, jos ja vain jos sillä on ainakin yksi symmetria-akseli.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = [[Martin Gardner]] | Otsikko = Mathematical Games: How Lavinia finds a room on University Avenue, and other geometric problems |
Julkaisu = Scientific American | Numero = 4 | Sivut = 18 | Julkaisupaikka = New York | Kieli = englanti}}</ref> Samoin jokainen kolmi­ulotteinen kappale, jolla on ainakin yksi symmetria­taso, voidaan siirtää kolmi­ulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. On kuitenkin olemassa myös kolmiulotteisia kappaleita, joilla ei ole symmetria­tasoa, mutta jotka kuitenkin voidaan siirtää peilikuvansa päälle. Sellaisilla kappaleilla on ''roto­refleksio­symmetria'' (katso jälkempää).<ref name=Gardner2>{{lehtiviite | Tekijä = [[Martin Gardner]] | Otsikko = Mathematical Games: How Lavinia finds a room on University Avenue, and other geometric problems | Julkaisu = Scientific American | Numero = 6 | Sivut = 18 | Julkaisupaikka = New York | Kieli = englanti}}</ref>
 
=== Symmetriakeskus ja muut involutiiviset symmetriat ===
Tällainen "peilaus" säilyttää [[orientaatio]]n, jos ja vain jos ''k'' on parillinen. Tästä seuraa, että kolmi­ulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peili­kuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä ''P-symmetria'' käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta [[pariteetti]].
 
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion ''symmetriakeskus''. Esimerkiksi [[suunnikas|suunnikkailla]] on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste. Esimerkkeinä taso­kuvioista, joilla on symmetria­keskus, mutta ei symmetria-akselia, voidaan mainita [[S]]-kirjain ja [[hakaristi]].
 
===Pyörähdyssymmetria===
*''C<sub>nh</sub>'' (kiertokulma 360°/''n''); kun ''n'' on pariton, tuloksena on yksinkertainen symmetria, ja abstrakti ryhmä on ''C''<sub>2''n''</sub>.
Jos taas ''n'' on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
 
Roto­refleksio­symmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetria­tasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peili­kuvansa päälle. Yksin­kertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliön­muotoisen paperi­palan reunoja.<!--Tähän tarvittaisiin kuva --> Tällaista symmetriaa esiintyy myös [[kiderakenne|kiderakenteissa]].
<ref name=Gardner2 />
 
===Kierteinen symmetria===
;Ääretön kierteinen symmetria: Jos kierteisen kappaleen poikki­leikkaus missä tahansa kohdassa on saman­lainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierre­jouset ja poran­terät.
 
;n-kertainen kierteinen symmetria: Jos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikki­leikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikki­leikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua saman­laisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen väli­matka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman &theta; verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma &theta; on 360 astetta jaettuna jollakin kokonais­luvulla, tulos on säännöllisen moni­kulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi kierteiseksi symmetriaksi''. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että &theta; on jokin täyden kierroksen eli 360°:n moni­kerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
saman­laisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen väli­matka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman &theta; verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma &theta; on 360 astetta jaettuna jollakin kokonais­luvulla, tulos on säännöllisen moni­kulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi
kierteiseksi symmetriaksi''. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että &theta; on jokin täyden kierroksen eli 360°:n moni­kerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
 
;ei-toistuva kierteinen symmetria: Tämä saadaan, jos kierto­kulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on [[irrationaaliluku|irrationaalinen]]. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
Jos symmetriaryhmä ''x'' on triviaali ryhmä, jossa on vain [[neutraalialkio]], ''x'':n sanotaan olevan ''asymmetrinen'', muussa tapauksessa ''symmetrinen''.
 
{{käännettävä}}
<!--
A general example is that ''G'' is a group of bijections ''g'': ''V'' ? ''V'' acting on the set of functions ''x'': ''V'' ? ''W''
by (''gx'')(''v'')&nbsp;=&nbsp;''x''[''g''<sup>-1</sup>(''v'')] (or a restricted set of such functions that is closed under
the group action). Thus a group of bijections of space induces a group action on "objects" in it.
The symmetry group of ''x'' consists of all ''g'' for which ''x''(''v'')&nbsp;=&nbsp;''x''[''g''(''v'')] for all ''v''.
''G'' is the symmetry group of the space itself, and of any object that is uniform throughout space.
Some subgroups of ''G'' may not be the symmetry group of any object. For example, if the group contains for every ''v'' and ''w'' in ''V'' a ''g'' such that ''g''(''v'')&nbsp;=&nbsp;''w'', then only the symmetry groups of constant functions ''x'' contain that group. However, the symmetry group of constant functions is ''G'' itself.
 
In a modified version for [[vector field]]s, we have (''gx'')(''v'')&nbsp;=&nbsp;''h''(''g'',&nbsp;''x''[''g''<sup>-1</sup>(''v'')]) where ''h'' rotates any vectors and pseudovectors in ''x'', and inverts any vectors (but not pseudovectors) according to rotation and inversion in ''g'', see [[symmetry in physics]]. The symmetry group of ''x'' consists of all ''g'' for which ''x''(''v'')&nbsp;=&nbsp;''h''(''g'',&nbsp;''x''[''g''(''v'')]) for all ''v''. In this case the symmetry group of a constant function may be a proper subgroup of ''G'': a constant vector has only rotational symmetry with respect to rotation about an axis if that axis is in the direction of the vector, and only inversion symmetry if it is zero.
 
For a common notion of symmetry in [[Euclidean space]], ''G'' is the [[Euclidean group]] ''E''(''n''), the group of [[isometry|isometries]], and ''V'' is the Euclidean space. The '''rotation group''' of an object is the symmetry group if ''G'' is restricted to ''E''<sup>+</sup>(''n''), the group of direct isometries. (For generalizations, see the next
subsection.) Objects can be modeled as functions ''x'', of which a value may represent a selection of properties such as color, density, chemical composition, etc. Depending on the selection we consider just symmetries of sets of points (''x'' is just a [[Boolean function]] of position ''v''), or, at the other extreme; e.g., symmetry of right and left hand with all their structure.
-->
Annetussa symmetria­ryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan [[ekvivalenssirelaatio|ekvivalenteiksi]] ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, [[ekvivalenssiluokka|ekvivalenssiluokkia]] ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä ''x'':n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä.
<!--
For a given symmetry group, the properties of part of the object, fully define the whole object. Considering points
[[Equivalence relation|equivalent]] which, due to the symmetry, have the same properties, the [[equivalence class]]es
are the [[Point stabilizer|orbits]] of the group action on the space itself. We need the value of ''x'' at one point
in every orbit to define the full object. A set of such representatives forms a [[fundamental domain]]. The smallest
fundamental domain does not have a symmetry; in this sense, one can say that symmetry relies upon [[asymmetry]].
 
An object with a desired symmetry can be produced by choosing for every orbit a single function value. Starting from a given object ''x'' we can, e.g.:
* Take the values in a fundamental domain (i.e., add copies of the object).
* Take for each orbit some kind of average or sum of the values of ''x'' at the points of the orbit (ditto, where the copies may overlap).
 
If it is desired to have no more symmetry than that in the symmetry group, then the object to be copied should be asymmetric.
 
As pointed out above, some groups of isometries are not the symmetry group of any object, except in the modified model for vector fields.
For example, this applies in 1D for the group of all translations.
The fundamental domain is only one point, so we can not make it asymmetric, so any "pattern" invariant under translation is also invariant under reflection (these are the uniform "patterns").
-->­
[[Vektoriavaruus|Vektoriavaruuden]] tapauksessa trans­latio­naalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastus­symmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin [[nollavektori]], ei ole heijastus­symmetriaa. Jos myös heijastus­symmetria esiintyy, vakio­funktio ei sisällä muita vektoreita kuin nolla­vektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia [[pseudovektori|pseudo­vektoreita]]. Tällaisen kolmi­ulotteisen esimerkin muodostaa ääretön [[lieriö]], jossa on sen akselia vastaan kohtisuora [[sähkövirta]]; [[magneettikenttä]], joka on pseudo­vektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti [[virrantiheys]], ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohti­suorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinteri­symmetriset. Tämä sylinteri­symmetria ilman symmetria­tasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetria­ominaisuuden määrittämässä vektori­kentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneetti­kenttää ja virran­tieheyttä vastaavat [[kulmanopeus]] ja [[nopeus]].
 
[[Noetherin teoreema]] osoittaa yksin­kertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista [[suure]]tta koskeva [[säilymislaki]]. Samaan tapaan [[Eugner Wigner|Wignerin]] mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
 
====Fyysiset kappaleet====
 
=====Klassiset kappaleet=====
 
Vaikka jokin tavan­omainen kappale saattaa näyttää aivan saman­laiselta jonkin symmetria­operaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain liki­määrin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Tällainen [[ajatuskoe]] osoittaa, että tavan­omaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys liki­määräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden liki­määräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä [[klassinen fysiikka|klassisessa fysiikassa]], tosin sanoen suurten, tavan­omaisten kappaleiden fysiikassa.
 
=====Kvanttifysikaaliset kappaleet =====
 
Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksin­kertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain liki­määräisiä. Näin on laita [[kvanttifysiikka|kvantti­fysiikassa]], joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksin­kertaisten kohteiden kuten [[elektroni]]en, [[protoni]]en, [[valo]]n ja [[atomi]]en fysiikkaa.
Toisin kuin joka­päiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi [[elektroni|elektroneilla]] on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olo­tiloja, joita sanotaan [[kvanttitila|kvanttitiloiksi]]. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetria­operaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alku­peräisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksin­kertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetria­oletus ''F''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x'' ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todelli­sesta tilan­teesta.
 
=====Kvanttisymmetrian seurauksia=====
 
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksin­kertaisista kohteista, väitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mieli­kuvamme sellaista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin saman­laisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Lyhyesti, jos kohde on niin yksin­kertainen, että jokin symmetria­oletus muotoa ''F(x) = x'' pitää täsmälli­sesti paikkansa, ''x'' ei enää noudata [[klassinen fysiikka|klassisen fysiikan]] sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava [[kvanttimekaniikka|kvantti­mekaniikan]] moni­mutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
 
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvantti­mekaniikan matema­tiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät liki­määräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta liki­arvoja ja muuttuvat kyseistenn kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteen­päin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteen­päin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
 
==== Luonnonlakien symmetria ja pariteetti ====
{{käännettävä}}
<!--
===Generalizations of symmetry===
 
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilate­raali­sesti symmet­risiä siinä mielessä, että
If we have a given set of objects with some structure, then it is possible for a symmetry to merely convert only one object into another, instead of acting upon all possible objects simultaneously. This requires a generalization from the concept of [[symmetry group]] to that of a [[groupoid]]. Indeed, A. [[Connes]] in his book "[[Non-commutative geometry]]" writes that Heisenberg discovered quantum mechanics by considering the groupoid of transitions of the hydrogen spectrum.
jos jokin fysi­kaali­nen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peili­kuva on mahdollinen. Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen meka­niikan]] ja myös [[sähkömagnetismi]]n lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että [[magneettikenttä]] on luonteel­taan [[pseudovektori]]. Tämä luonnon­lakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että [[pariteetti]] säilyy.
 
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pari­teetti ei säily kaikissa [[heikko vuorovaikutus|heikon vuorovaikutuksen]] aikaansaamissa [[hiukkasreaktio]]issa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa [[koboltti]]-60:n [[beetahajoaminen|beeta­hajoamista]] matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee [[CPT-symmetria]]: jokainen luonnon­lakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikal­linen ympäristö käännetään peili­kuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan [[antihiukkanen|anti­hiukkasillaan]] ja ilmiö tapahtuu ajalli­sesti taka­perin.
The notion of groupoid also leads to notions of multiple groupoids, namely sets with many compatible groupoid structures, a structure which trivialises to abelian groups if one restricts to groups. This leads to prospects of ''higher order symmetry'' which have been a little explored, as follows.
<ref name=Antimateria>{{verkkoviite | Osoite = http://www.kolumbus.fi/villea/antimateria.doc | Nimeke = Antimateria | Sivu = 6 | Julkaisija = Ville Autio, Henri Hokkanen | Tiedostomuoto = doc | Viitattu = 13.4.2013}}</ref>
 
==== Ajan nuoli ====
The automorphisms of a set, or a set with some structure, form a group, which models a homotopy 1-type. The automorphisms of a group ''G'' naturally form a [[crossed module]] <math>\scriptstyle G \;\to\; \mathrm{Aut}(G)</math>, and crossed modules give an algebraic model of homotopy 2-types. At the next stage, automorphisms of a crossed module fit into a structure known as a crossed square, and this structure is known to give an algebraic model of homotopy 3-types. It is not known how this procedure of generalising symmetry may be continued, although crossed ''n''-cubes have been defined and used in algebraic topology, and these structures are only slowly being brought into theoretical physics.<ref name="Higher dimensional group theory'"/><ref>[http://golem.ph.utexas.edu/category/ n-category cafe] – discussion of ''n''-groups</ref>
 
Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja [[sähkömagnetismi]]n perus­lait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi [[planeetta|planeettoja]] kiertämästä Auringon ympäri päin­vastaiseen suuntaan. Tästäkin symmetriasta ovat tosin poikkeuksena eräät [[heikko vuorovaikutus|heikon vuoro­vaikutuksen]] aikaan­saamat [[hiukkasreaktio]]t.<ref name=Antimateria />
 
Joka­päiväisen kokemuksemme perusteella [[aika]] vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epä­symmetri­seltä: [[menneisyys|mennei­syy­dellä]] ja [[tulevaisuus|tule­vai­suu­della]] näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että [[muisti|muistamme]] mennei­syyden mutta emme tule­vai­suutta,<ref name=Hawking>{{kirjaviite |Tekijä = Stephen Hawking | Nimeke = Ajan lyhyt historia | Sivu = 144-147 | Julkaisija = WSOY | Suomentaja = Risto Varteva | Vuosi = 1988 | Tunniste = 951-0-14092-4}}</ref> toisaalta voimme vaikuttaa tule­vai­suu­teen mutta emme mennei­syy­teen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuus­teoriassa]] [[kausaliteetti|kausali­teetin]] invari­anssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi [[irreversiibeli|irrever­sii­be­lejä]] eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä [[elokuva]]a näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.<ref name=Hawking />. [[Arthur Eddington]] antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen [[ajan nuoli]]. [[Kosmologia|Kosmologisella]] tasolla ajan epä­symmetri­syys ilmenee [[maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen|maailman­kaikkeuden metri­senä laaje­nemi­sena]].<ref name=Hawking />
 
On osoittautunut, että arki­elämän ilmiöiden ajallinen epä­symmetria eli irrever­sii­beliys perustuu kaikissa tapauk­sissa viime kädessä [[termodynamiikan toinen pääsääntö|termo­dymaniikan toiseen pää­sääntöön]]
jonka mukaan minkä tahansa [[fysikaalinen systeemi|fysi­kaali­sen systeemin]] epä­järjestys tai sitä mittaava suure, [[entropia]], pyrkii kasvamaan.<ref name=Hawking />
 
Physicists have come up with other directions of generalization, such as [[supersymmetry]] and [[quantum group]]s, yet the different options are indistinguishable during various circumstances.
-->
=== Biologiassa ===
 
 
Symmetria on tärkeä myös [[kemia]]sa, koska se selittää monet [[spektroskopia]]n, [[kvanttikemia]]n ja [[kiderakenne|kiderakenteiden]] tutkimuksen havainnot.
 
Useimmat [[epäorgaaninen yhdiste|epäorgaaniset]] ja monet [[orgaaninen yhdiste|orgaanisetkin]] molekyylit ovat ainakin bilate­raali­sesti symmetrisiä; joillakin, esimerkiksi [[metaani]]molekyylillä on useampiakin symmetria­tasoja. On kuitenkin olemassa runsaasti myös epä­symmet­risiä molekyylejä. Tällaisissa tapauksissa yhdisteellä on kaksi [[optinen isomeria|optista isomeeria]], ja aine, joka sisältää vain toista iso­meeria, on [[optisesti aktiivinen|optisesti aktiivista]].<ref name=OrgKem>{{kirjaviite | Tekijä = Pentti Mälkönen | Nimeke = Orgaaninen kemia | Sivu = 159-162 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1979 | Tunniste = ISBN 951-1-05378-7}}</ref> Optisten isomeerien fysi­kaaliset ja kemialli­set ovat muutoin samat paitsi että ne kiertävät [[polarisaatio|polari­soitu­nutta]] valoa vastak­kaisiin suuntiin.<ref name=OrgKem /> Sitä vastoin niiden [[fysiologia|fysio­logiset]] vaikutukset ovat yleensä erilaiset, mikä johtuu soluissa ennestään olevista optisesti aktiivi­sista aineista.<ref name=OrgKem />
 
Esimerkkejä biologisesti merkittävistä optisesti aktiivi­sista aineista ovat [[sokeri]]t<ref>Mälkönen, s. 170-176</ref> sekä [[glysiini]]ä lukuun ottamatta kaikki [[aminohappo|amino­hapot]] ja [[proteiini]]t.<ref>Mälkönen, s. 200</ref>
 
[[Kvartsi]]n kiderakenne on myös epä­symmet­rinen, minkä vuoksi kvartsi on optisesti aktiivista. On siis olemassa kahden­laisia kvartsi­kiteitä, jotka raken­teeltaan ovat toistensa peili­kuvia ja kiertävät polari­soitu­nutta valoa vastakkaisiin suuntiin.<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan iso fokus, 5. osa (Mo-Qv) | Sivu = 3202, art. Polarisaatio | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1973 | Tunniste = ISBN 951-1-01070-0}}</ref>
 
==Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa==
====Sävelasteikkojen rakenteet====
 
Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten [[sävelasteikko|sävelasteikkojen]] ja [[sointu]]jen muodostumiseen. Perinteinen [[tonaalisuus|tonaalinen musiikki]] kuitenkin perustuu epä­symmetriseen [[diatoninen asteikko|diatoniseen asteikkoon]] ja niin ikään epäsymmetrisiin [[duuri]]- ja [[molli]][[kolmisointu]]ihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten [[kokosävelasteikko|koko­sävel­asteikon]], [[ylinouseva kolmisointu|yli­nousevan kolmi­soinnun]] ja [[vähennetty nelisointu|vähennetyn neli­soinnun]] sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene [[sävellaji]]n [[perussävel]] eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten [[Alban Berg]], [[Béla Bartók]] ja [[George Perle]] ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
 
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman [[intervalli]]n eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin.
89 459

muokkausta