Ero sivun ”Symmetria” versioiden välillä
[katsottu versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
KLS (keskustelu | muokkaukset) Poistin eräät kommenttiin piilotetut kääntämättömät osuudet. Lisäsin sen sijaan muita, ehkä mielenkiintoisempia tai ainakin helppotajuisempia esimerkkejä symmetriasta ja asymmetriasta. |
|||
Rivi 43:
Kaksiulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peilikuvia. Niinpä [[Neliö (geometria)|neliöllä]] on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. [[Ympyrä]]llä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keskipisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos [[kolmio]]lla on symmetria-akseli, se on [[tasakylkinen kolmio|tasakylkinen]].
Tasokuvio voidaan siirtää tasossa translaatioiden ja rotaatioiden avulla peilikuvansa päälle, jos ja vain jos sillä on ainakin yksi symmetria-akseli.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = [[Martin Gardner]] | Otsikko = Mathematical Games: How Lavinia finds a room on University Avenue, and other geometric problems |
Julkaisu = Scientific American | Numero = 4 | Sivut = 18 | Julkaisupaikka = New York | Kieli = englanti}}</ref> Samoin jokainen kolmiulotteinen kappale, jolla on ainakin yksi symmetriataso, voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. On kuitenkin olemassa myös kolmiulotteisia kappaleita, joilla ei ole symmetriatasoa, mutta jotka kuitenkin voidaan siirtää peilikuvansa päälle. Sellaisilla kappaleilla on ''rotorefleksiosymmetria'' (katso jälkempää).<ref name=Gardner2>{{lehtiviite | Tekijä = [[Martin Gardner]] | Otsikko = Mathematical Games: How Lavinia finds a room on University Avenue, and other geometric problems | Julkaisu = Scientific American | Numero = 6 | Sivut = 18 | Julkaisupaikka = New York | Kieli = englanti}}</ref>
=== Symmetriakeskus ja muut involutiiviset symmetriat ===
Rivi 54 ⟶ 57:
Tällainen "peilaus" säilyttää [[orientaatio]]n, jos ja vain jos ''k'' on parillinen. Tästä seuraa, että kolmiulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peilikuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä ''P-symmetria'' käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta [[pariteetti]].
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion ''symmetriakeskus''. Esimerkiksi [[suunnikas|suunnikkailla]] on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste. Esimerkkeinä tasokuvioista, joilla on symmetriakeskus, mutta ei symmetria-akselia, voidaan mainita [[S]]-kirjain ja [[hakaristi]].
===Pyörähdyssymmetria===
Rivi 90 ⟶ 93:
*''C<sub>nh</sub>'' (kiertokulma 360°/''n''); kun ''n'' on pariton, tuloksena on yksinkertainen symmetria, ja abstrakti ryhmä on ''C''<sub>2''n''</sub>.
Jos taas ''n'' on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
Rotorefleksiosymmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetriatasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. Yksinkertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliönmuotoisen paperipalan reunoja.<!--Tähän tarvittaisiin kuva --> Tällaista symmetriaa esiintyy myös [[kiderakenne|kiderakenteissa]].
<ref name=Gardner2 />
===Kierteinen symmetria===
Rivi 100 ⟶ 106:
;Ääretön kierteinen symmetria: Jos kierteisen kappaleen poikkileikkaus missä tahansa kohdassa on samanlainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierrejouset ja poranterät.
;n-kertainen kierteinen symmetria: Jos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikkileikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikkileikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua samanlaisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen välimatka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman θ verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma θ on 360 astetta jaettuna jollakin kokonaisluvulla, tulos on säännöllisen monikulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan ''n-kertaiseksi kierteiseksi symmetriaksi''. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että θ on jokin täyden kierroksen eli 360°:n monikerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
;ei-toistuva kierteinen symmetria: Tämä saadaan, jos kiertokulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on [[irrationaaliluku|irrationaalinen]]. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
Rivi 142 ⟶ 146:
Jos symmetriaryhmä ''x'' on triviaali ryhmä, jossa on vain [[neutraalialkio]], ''x'':n sanotaan olevan ''asymmetrinen'', muussa tapauksessa ''symmetrinen''.
Annetussa symmetriaryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan [[ekvivalenssirelaatio|ekvivalenteiksi]] ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, [[ekvivalenssiluokka|ekvivalenssiluokkia]] ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä ''x'':n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä.
[[Vektoriavaruus|Vektoriavaruuden]] tapauksessa translationaalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastussymmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin [[nollavektori]], ei ole heijastussymmetriaa. Jos myös heijastussymmetria esiintyy, vakiofunktio ei sisällä muita vektoreita kuin nollavektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia [[pseudovektori|pseudovektoreita]]. Tällaisen kolmiulotteisen esimerkin muodostaa ääretön [[lieriö]], jossa on sen akselia vastaan kohtisuora [[sähkövirta]]; [[magneettikenttä]], joka on pseudovektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti [[virrantiheys]], ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohtisuorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinterisymmetriset. Tämä sylinterisymmetria ilman symmetriatasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetriaominaisuuden määrittämässä vektorikentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneettikenttää ja virrantieheyttä vastaavat [[kulmanopeus]] ja [[nopeus]].
Rivi 200 ⟶ 173:
[[Noetherin teoreema]] osoittaa yksinkertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista [[suure]]tta koskeva [[säilymislaki]]. Samaan tapaan [[Eugner Wigner|Wignerin]] mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
====Fyysiset kappaleet====
=====Klassiset kappaleet=====
Vaikka jokin tavanomainen kappale saattaa näyttää aivan samanlaiselta jonkin symmetriaoperaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain likimäärin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Rivi 210 ⟶ 183:
Tällainen [[ajatuskoe]] osoittaa, että tavanomaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys likimääräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden likimääräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä [[klassinen fysiikka|klassisessa fysiikassa]], tosin sanoen suurten, tavanomaisten kappaleiden fysiikassa.
=====Kvanttifysikaaliset kappaleet =====
Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksinkertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain likimääräisiä. Näin on laita [[kvanttifysiikka|kvanttifysiikassa]], joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksinkertaisten kohteiden kuten [[elektroni]]en, [[protoni]]en, [[valo]]n ja [[atomi]]en fysiikkaa.
Rivi 216 ⟶ 189:
Toisin kuin jokapäiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi [[elektroni|elektroneilla]] on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olotiloja, joita sanotaan [[kvanttitila|kvanttitiloiksi]]. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetriaoperaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alkuperäisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksinkertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetriaoletus ''F''(''x'') = ''x'' ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todellisesta tilanteesta.
=====Kvanttisymmetrian seurauksia=====
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksinkertaisista kohteista, väitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mielikuvamme sellaista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin samanlaisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Rivi 228 ⟶ 201:
Lyhyesti, jos kohde on niin yksinkertainen, että jokin symmetriaoletus muotoa ''F(x) = x'' pitää täsmällisesti paikkansa, ''x'' ei enää noudata [[klassinen fysiikka|klassisen fysiikan]] sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava [[kvanttimekaniikka|kvanttimekaniikan]] monimutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvanttimekaniikan matematiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät likimääräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta likiarvoja ja muuttuvat kyseistenn kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteenpäin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
==== Luonnonlakien symmetria ja pariteetti ====
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilateraalisesti symmetrisiä siinä mielessä, että
jos jokin fysikaalinen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peilikuva on mahdollinen. Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja myös [[sähkömagnetismi]]n lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että [[magneettikenttä]] on luonteeltaan [[pseudovektori]]. Tämä luonnonlakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että [[pariteetti]] säilyy.
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pariteetti ei säily kaikissa [[heikko vuorovaikutus|heikon vuorovaikutuksen]] aikaansaamissa [[hiukkasreaktio]]issa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa [[koboltti]]-60:n [[beetahajoaminen|beetahajoamista]] matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee [[CPT-symmetria]]: jokainen luonnonlakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikallinen ympäristö käännetään peilikuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan [[antihiukkanen|antihiukkasillaan]] ja ilmiö tapahtuu ajallisesti takaperin.
<ref name=Antimateria>{{verkkoviite | Osoite = http://www.kolumbus.fi/villea/antimateria.doc | Nimeke = Antimateria | Sivu = 6 | Julkaisija = Ville Autio, Henri Hokkanen | Tiedostomuoto = doc | Viitattu = 13.4.2013}}</ref>
==== Ajan nuoli ====
Kaikki [[klassinen mekaniikka|klassisen mekaniikan]] ja [[sähkömagnetismi]]n peruslait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi [[planeetta|planeettoja]] kiertämästä Auringon ympäri päinvastaiseen suuntaan. Tästäkin symmetriasta ovat tosin poikkeuksena eräät [[heikko vuorovaikutus|heikon vuorovaikutuksen]] aikaansaamat [[hiukkasreaktio]]t.<ref name=Antimateria />
Jokapäiväisen kokemuksemme perusteella [[aika]] vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epäsymmetriseltä: [[menneisyys|menneisyydellä]] ja [[tulevaisuus|tulevaisuudella]] näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että [[muisti|muistamme]] menneisyyden mutta emme tulevaisuutta,<ref name=Hawking>{{kirjaviite |Tekijä = Stephen Hawking | Nimeke = Ajan lyhyt historia | Sivu = 144-147 | Julkaisija = WSOY | Suomentaja = Risto Varteva | Vuosi = 1988 | Tunniste = 951-0-14092-4}}</ref> toisaalta voimme vaikuttaa tulevaisuuteen mutta emme menneisyyteen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuusteoriassa]] [[kausaliteetti|kausaliteetin]] invarianssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi [[irreversiibeli|irreversiibelejä]] eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä [[elokuva]]a näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.<ref name=Hawking />. [[Arthur Eddington]] antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen [[ajan nuoli]]. [[Kosmologia|Kosmologisella]] tasolla ajan epäsymmetrisyys ilmenee [[maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen|maailmankaikkeuden metrisenä laajenemisena]].<ref name=Hawking />
On osoittautunut, että arkielämän ilmiöiden ajallinen epäsymmetria eli irreversiibeliys perustuu kaikissa tapauksissa viime kädessä [[termodynamiikan toinen pääsääntö|termodymaniikan toiseen pääsääntöön]]
jonka mukaan minkä tahansa [[fysikaalinen systeemi|fysikaalisen systeemin]] epäjärjestys tai sitä mittaava suure, [[entropia]], pyrkii kasvamaan.<ref name=Hawking />
=== Biologiassa ===
Rivi 252 ⟶ 229:
Symmetria on tärkeä myös [[kemia]]sa, koska se selittää monet [[spektroskopia]]n, [[kvanttikemia]]n ja [[kiderakenne|kiderakenteiden]] tutkimuksen havainnot.
Useimmat [[epäorgaaninen yhdiste|epäorgaaniset]] ja monet [[orgaaninen yhdiste|orgaanisetkin]] molekyylit ovat ainakin bilateraalisesti symmetrisiä; joillakin, esimerkiksi [[metaani]]molekyylillä on useampiakin symmetriatasoja. On kuitenkin olemassa runsaasti myös epäsymmetrisiä molekyylejä. Tällaisissa tapauksissa yhdisteellä on kaksi [[optinen isomeria|optista isomeeria]], ja aine, joka sisältää vain toista isomeeria, on [[optisesti aktiivinen|optisesti aktiivista]].<ref name=OrgKem>{{kirjaviite | Tekijä = Pentti Mälkönen | Nimeke = Orgaaninen kemia | Sivu = 159-162 | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1979 | Tunniste = ISBN 951-1-05378-7}}</ref> Optisten isomeerien fysikaaliset ja kemialliset ovat muutoin samat paitsi että ne kiertävät [[polarisaatio|polarisoitunutta]] valoa vastakkaisiin suuntiin.<ref name=OrgKem /> Sitä vastoin niiden [[fysiologia|fysiologiset]] vaikutukset ovat yleensä erilaiset, mikä johtuu soluissa ennestään olevista optisesti aktiivisista aineista.<ref name=OrgKem />
Esimerkkejä biologisesti merkittävistä optisesti aktiivisista aineista ovat [[sokeri]]t<ref>Mälkönen, s. 170-176</ref> sekä [[glysiini]]ä lukuun ottamatta kaikki [[aminohappo|aminohapot]] ja [[proteiini]]t.<ref>Mälkönen, s. 200</ref>
[[Kvartsi]]n kiderakenne on myös epäsymmetrinen, minkä vuoksi kvartsi on optisesti aktiivista. On siis olemassa kahdenlaisia kvartsikiteitä, jotka rakenteeltaan ovat toistensa peilikuvia ja kiertävät polarisoitunutta valoa vastakkaisiin suuntiin.<ref>{{kirjaviite | Nimeke = Otavan iso fokus, 5. osa (Mo-Qv) | Sivu = 3202, art. Polarisaatio | Julkaisija = Otava | Vuosi = 1973 | Tunniste = ISBN 951-1-01070-0}}</ref>
==Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa==
Rivi 337 ⟶ 320:
====Sävelasteikkojen rakenteet====
Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten [[sävelasteikko|sävelasteikkojen]] ja [[sointu]]jen muodostumiseen. Perinteinen [[tonaalisuus|tonaalinen musiikki]] kuitenkin perustuu epäsymmetriseen [[diatoninen asteikko|diatoniseen asteikkoon]] ja niin ikään epäsymmetrisiin [[duuri]]- ja [[molli]][[kolmisointu]]ihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten [[kokosävelasteikko|kokosävelasteikon]], [[ylinouseva kolmisointu|ylinousevan kolmisoinnun]] ja [[vähennetty nelisointu|vähennetyn nelisoinnun]] sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene [[sävellaji]]n [[perussävel]] eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten [[Alban Berg]], [[Béla Bartók]] ja [[George Perle]] ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman [[intervalli]]n eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin.
|