Ero sivun ”Matemaattinen todistus” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p →Epäsuora todistus: Luokka |
|||
Rivi 42:
=== Epäsuora todistus ===
Epäsuorassa todistuksessa oletetaan, että
Tehdään vastaoletus, että <math>\sqrt{2}</math> on rationaaliluku. Silloin on olemassa kokonaisluvut <math>a,b\in\mathbb{Z}_+</math>, joille <math>\sqrt{2}=a/b</math> ja murtoluku <math>a/b</math> on supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Korottamalla molemmat puolet toiseen potenssiin saadaan <math>2=a^2/b^2</math>, eli <math>2b^2=a^2</math>. Lukuteoriasta tiedetään, että jos kokonaisluvun neliö on parillinen, niin itse lukukin on parillinen. Koska luvun <math>a</math> neliö on edellä saadun nojalla parillinen, niin on siis olemassa luku <math>c\in\mathbb{Z}</math>, jolle on voimassa <math>a=2c</math>. Sijoittamalla tämä luvun <math>a</math> paikalle saadaan <math>2b^2=(2c)^2=4c^2</math> eli <math>b^2=2c^2</math>. Nyt luvun <math>a</math> lisäksi myös <math>b</math> on parillinen, joten murtoluvussa <math>a/b</math> voidaan jakaa sekä osoittaja että nimittäjä luvulla <math>2</math>. Tämä on ristiriita, sillä alussa oletettiin, että luku <math>a/b</math> oli jo supistettu mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon. Tämä ristiriita osoittaa, että vastaoletus on väärin ja alkuperäinen väite oikein. Siispä <math>\sqrt{2}</math> on irrationaaliluku. <math>\square</math>
▲:'''Todistus:'''
[[Luokka:Matemaattinen logiikka]]
| |||