Ero sivun ”Neperin luku” versioiden välillä

Neperin luvulla on tärkeä merkitys [[eksponenttifunktio]]n ''e<supmath>e^x</supmath>'' kantalukuna.

Kun nimittäin eksponenttifunktion ''c<supmath>c^x</supmath>'' kantalukuna on positiivinen luku ''<math>c'' </math>, niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku <math>c</math> on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on <math>1</math>. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:

f'(x_0x) &= \lim_{h \to 0} \frac {f (x+h)-f(x)}{h} \\

&= \lim_{h \to 0} \frac{c^{x+h} - c^x}{h} \\

&= \lim_{h \to 0} \frac {c^x(c^h-1)}{h} \\

&= c^x \lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h}.

Näin huomataan, että kaikilla ''kantaluvun <math>c'':n</math> arvoilla funktion c<supmath>c^x</supmath> derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella:

:<math>\lim_{h \to 0} \frac{c^h - 1}{h}</math>.

:<math>

1\lim_{n &\to 0+} n &= \lim_{n \to 0+} \frac{e^n - 1}{n} \\

\lim_{n \to 0+} e^n & = \lim_{n \to 0+} e^n(1 -+ 1n) \\

\lim_{n \to 0+} e^n & = \lim_{n \to 0+} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \\

e & = \lim_{n \to 0+\infty} \left(1 + n\right)^\frac{1}{n} \\right)^n.