Ero sivun ”Ratkeava ryhmä” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
sivu luotu |
p virheiden korjaus |
||
Rivi 5:
Osoitetaan, että kaksi edellä esitettyä määritelmää ovat todella yhtäpitävät. Oletetaan aluksi, että ryhmä <i>G</i> on ratkeava ensimmäisen määritelmän mielessä. Eräs [[derivaattaryhmä|derivaattaryhmien]] perusominaisuus on se, että <i>H'</i> on <i>H</i>:n (aito tai epäaito) [[normaali aliryhmä]], eli <math>H' \triangleleft H</math> kaikilla ryhmillä <i>H</i>. Näin ollen ratkeavuuden ensimmäisen määritelmän nojalla saadaan <math>\{1\} = G^{(n)} \triangleleft G^{(n-1)} \triangleleft \cdots \triangleleft G' \triangleleft G</math> jollain <i>n</i>, missä siis <i>G<sup>(k)</sup></i> on <i>G</i>:n kertalukua <i>k</i> oleva derivoitu ryhmä. Saatu jono on <i>G</i>:n kompositiojono ja sen tekijät <i>G<sup>(k-1)</sup>/G<sup>(k)</sup></i> ovat derivaattaryhmien perusominaisuuksien nojalla Abelin ryhmiä. Siispä ensimmäisestä määritelmästä seuraa toinen.
Oletetaan sitten, että ryhmä <i>G</i> on ratkeava toisen määritelmän mukaan, jolloin siis on olemassa normaalijono <math>\{1\} = A_0 \triangleleft A_1 \triangleleft \cdots \triangleleft A_{r-1} \triangleleft A_r = G</math>, jolla tekijät <i>A<sub>i</sub>/A<sub>i-1</sub></i> ovat Abelin ryhmiä. Tässä kohtaa hyödynnetään taas yhtä derivaattaryhmien perustavanlaatuisista ominaisuuksista, nimittäin sitä, että jos mielivaltaisen ryhmän <i>H</i> aliryhmä <i>F</i> on normaali ja [[tekijäryhmä]] <math>H/F</math> on Abelin ryhmä, niin <i>H'</i> on <i>F</i>:n aliryhmä. Tätä tietoa käyttäen nähdään, että <i>G'
==Ratkeavia ja ratkeamattomia ryhmiä==
| |||