Ero sivun ”Metrinen avaruus” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [katsottu versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p r2.6.5) (Botti lisäsi: hy:Մետրիկական տարածություն |
KLS (keskustelu | muokkaukset) viitemerkintöjä |
||
Rivi 7:
# <math>d(x,y) = 0 \,\!</math> jos ja vain jos <math>x = y </math>
# <math>d(x,y) = d(y,x) \,\!</math>
# <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math> ([[kolmioepäyhtälö]]).<ref name=Vaisala>{{kirjaviite | Tekijä = Jussi Väisälä | Nimeke = Topologia II | Sivu = 35-36 | Julkaisija = Limes ry | Vuosi = 1981 | Tunniste = ISBN 951-745-082-6}}</ref>
Metristä avaruutta <math>(X, d)</math> kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi <math>X</math>, jos käytössä oleva metriikka <math>d</math> on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden <math>X</math> alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua <math>d(x,y)</math> pisteiden <math>x</math> ja <math>y</math> väliseksi etäisyydeksi.
Rivi 29:
:<math>B(x,r) = \{y \in X : d(y,x) < r\}</math>
kutsutaan avaruuden <math>X</math> <math>x</math>-keskiseksi <math>r</math>-säteiseksi '''avoimeksi kuulaksi'''.<ref name=Vaisala /> Toisin sanoen, <math>B(x,r)</math> on niiden pisteiden <math>y \in X</math> joukko, joiden etäisyys pisteestä <math>x</math> on aidosti pienempi kuin <math>r</math>. Joukkoa <math>B(x,r)</math> kutsutaan myös pisteen <math>x</math> '''kuulaympäristöksi'''.
Vastaavasti määritellään joukot
Rivi 45:
===Avoin ja suljettu joukko===
Avaruuden <math>(X,d)</math> osajoukko <math>U \subseteq X</math> on '''[[avoin joukko|avoin]]''', jos jokaisella pisteellä <math>x \in U</math> on kuulaympäristö <math>B(x,r)</math> siten, että <math>B(x,r) \subseteq U</math>. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään <math>X</math>:n [[topologia]]n, ns. '''tavallisen topologian''' <math>\mathcal{T}_d</math>; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla [[topologinen avaruus]]. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden <math>(X,\mathcal{T})</math> topologiaa <math>\mathcal{T}</math> '''metristyväksi''' jos ja vain jos on olemassa jokin <math>X</math>:n metriikka <math>d</math> siten, että <math>\mathcal{T} = \mathcal{T}_d</math>.<ref name=Vaisala />
Joukko <math>F \subseteq X</math> on '''[[suljettu joukko|suljettu]]''', jos sen [[joukko-oppi|komplementti]] <math>\complement F</math> on avoin. Joukko <math>A \subseteq X</math> voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.
Rivi 51:
===Rajoitettu joukko===
Metrisen avaruuden <math>(X, d)</math> osajoukkoa <math>A \subseteq X</math> sanotaan '''rajoitetuksi''', jos on olemassa sellainen säde <math>r \in \mathbb{R}_+</math>, että <math>d(x, y) < r</math> kaikilla <math>x, y \in A</math>. Pienintä tällaista sädettä sanotaan joukon '''[[halkaisija
===Pisteen etäisyys joukosta===
Rivi 58:
:<math>d(x, A) = \inf \{d(x, y) : y \in A\}</math>.
==Lähteet==
{{viitteet}}
==Katso myös==
| |||