Ero sivun ”Pariton luku” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
pEi muokkausyhteenvetoa |
pEi muokkausyhteenvetoa |
||
Rivi 1:
[[Kokonaisluku]] on '''pariton''', jos '''se ei ole''' [[jaollisuus|jaollinen]]
Parittomat luonnolliset luvut ovat <math>\{1, 3, 5, 7, 9, \dots \}</math> <ref name=oeis/> ja parittomat kokonaisluvut ovat <math>\{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, \dots \}</math>. Nämä muodostavat luonnollisten- ja kokonaislukujen [[osajoukko|osajoukon]].
==Formaaliset määritelmät==
Parillisen luvun <math>q_k</math> voi muodostaa lausekkeella <math>q_k=2k</math>, missä <math>k</math> on luonnollinen luku. Jokaisen parillisen luvun edeltäjä ja seuraaja ovat parittomia lukuja. Parittoman luvun lauseke voi siten olla joko <math>p_k=2k-1</math> tai <math>p_k=2k+1</math>. Jos tulkitaan <math>k</math> [[järjestysluku|järjestysluvuksi]], voidaan ajatella <math>p_k</math>:n olevan <math>k</math>:nnes pariton luonnollinen luku. Esimerkiksi 93. pariton luku on <math>p_{93}=2 \cdot 93+1 = 187</math>. Kun parittomien lukujen <math>p_k</math> määritelmässä sallitaan myös <math>k</math>:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön. <ref name=ww_odd/>
Parittomien luonnollisten lukujen joukko on [[mahtavuus|mahtavuudeltaan]] [[numeroituva|numeroituvasti ääretön]], koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus <math>f(n)=2n+1</math> on [[bijektio]], mikä riittää perusteluksi.
▲Kokonaisluvut, jotka eivät ole parittomia, ovat [[parillinen luku|parillisia]].
===Parillisuustestit===
Luvun parillisuus voidaan tutkia hyödyntämällä lukujen ominaisuuksia. Pariton luku ei ole [[jaollisuus|jaollinen]] kahdella, vaan siitä jää jakojäännökseksi 1. Esimerkiksi luku 21 jaetaan kahdella saadaan <math>\frac {21}{2} = 10\frac{1}{2}</math>, missä jakojäännös on 1. Toisaalta, parillisella luvulla tulee olla tekijänä luku 2, mutta parittomalta luvulta se piittuu. Lausekkeen parillisuuden tai parittomuuden voi tämän tiedon avulla tutkia. <ref name=ww_even/>
[[Desimaalijärjestelmä]]ssä parittomalla kokonaisluvulla on viimeinen numeromerkki aina jokin luvuista 1, 3, 5, 7 tai 9. Tämän mukaan luku 234 on parillinen ja 1331 taas pariton.
Parillisuuden voi ilmaista pariteettina. Kun parillisen luvun paritetti on 0 ja parillisen 1. Tietotekniikassa paritetti on helppo laskea lukujen binäärijärjestelmässä. Esimerkiksi luku 13 on parillinen, koska sen [[binäärijärjestelmä|binääriesitys]] <math>1101_2</math> sisältää kolme ykköstä. Kolmen ykkösen paritetti on <math>2 \text{ (mod 2) }\equiv 1.</math> <ref name=ww_parity/>
==Aritmetiikkaa==
Kahden luvun laskutoimitukset vaiktuttavat tuloksen parillisuuteen säännöllisillä tavoilla.
Kahden luvun [[summa]]n ja [[erotus|erotuksen]] pariteetti voidaan päätellä siitä, saadaanko yhteiseksi tekijäksi luku 2:
:* parillinen ± parillinen = parillinen, koska <math>2k\pm2n = 2(k \pm n)</math>
:* pariton ± parillinen = pariton, koska <math>(2k + 1)\pm 2n = 2(k \pm n)+1</math> ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
:* parillinen ± pariton = pariton, koska <math>(2k)\pm (2n+1) = 2(k \pm n)\pm 1</math> ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
:* pariton + pariton = parillinen, koska <math> (2k + 1) + (2n + 1) = 2(k+n)+2 = 2(k+n+1)</math>
:* pariton - pariton = parillinen, koska <math> (2k + 1) - (2n + 1) = 2(k-n)-0 = 2(k-n)</math>
Kahden luvun [[tulo]]n pariteetti voidaan päätellä samalla tavalla:
:* parillinen <math>\cdot</math> parillinen = parillinen, koska <math>2k \cdot 2n = 4kn = 2(2kn)</math>
:* pariton <math>\cdot</math> parillinen = parillinen, koska <math>(2k + 1) \cdot 2n = 2n(2k + 1)</math>
:* pariton <math>\cdot</math> pariton = pariton, koska <math>(2k + 1) \cdot (2n + 1) = 4kn + 2(k +n) + 1</math> ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
Kun [[jakolasku]] ei mene tasan, jolloin [[osamäärä]] on puhdas [[rationaaliluku]], ei voida enää puhua parillisuudesta. Jos jakolasku menee tasan, jakaa [[nimittäjä]] <math>n</math> [[osoittaja]]n <math>m</math> ja on siten eräs sen tekijä eli <math>m = pn</math>. Silloin
:<math>\frac{m}{n}=\frac{pn}{n}=p</math>
ja osamäärän paritomuus riippuu ainoastaan osoittajan tekijästä <math>p</math> eikä ollenkaan nimittäjästä <math>n</math>.
==Lukuteorian tuloksia==
Kun lasketaan parittomia lukuja yhteen 1 + 3 + 5 + 7 + ..., saadaan tulokseksi [[neliöluku]]ja. <ref name=fuchs79/>
Jerusalemin lähellä noin 100 jaa. eläneen uuspythagoralaisen [[Nikomakhos Gerasalain|Nikomakhos Gerasalaisen]] julkaisi kirjan [[Introductio arithmeticae]], jossa hän esitti parittomilla luvuilla summajonon 1; 3 + 5; 7 + 9 + 11; 13 + 15 + 17 + 19; ... eli 1, 8, 27, 64,... Viimeiset luvut ovat ensimmäiset [[kuutioluvut]]. Edellinen lukujono on samalla parittomien lukujen summa, jonka arvo on neliöluku. <ref name=boyer262/>
Seuraavat parittomien lukujen käänteislukujen sarjat suppenevat.
:<math>1 - \frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+... = \frac{\pi}{4}</math>
:<math>1 + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+... = \frac{\pi^2}{8}</math>
:<math>1 + \frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+... = \frac{\pi^4}{96}</math>
:<math>1 + \frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+... = \frac{\pi^6}{960}</math>
:<math>1 - \frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+... = \frac{\pi^3}{32}</math>
:<math>1 + \frac{1}{3^3}-\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}-... = \frac{3\pi^3\sqrt{2}}{128}</math> <ref name=mhb108/>
==Historia==
Muun muassa [[Abraham Seidenberg]] on esittänyt, laskeminen on voinut saada alkuunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osaanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Alkeellisesti elävien heimojen keskuudesta on havaittu laajalle levinnyt tapa, jossa osaaanottajat jaotellaan miehiin ja naisiin numeroimalla heidät parillisilla ja parittomilla luvuilla pareiksi. Samat heimot käyttävät 2-kantaista lukujärjestelmääkin muiden lukujärjestelmien rinnalla ja riitit saattavat olla tähän yhtenä syynä. Pythagoralaiset kuvasivat parillisia lukuja naisellisina ja parittomia miehisinä lukuina. <ref name=boyer_myst/><ref name=barrow_108/>.
[[Euklides|Euklideen]] [[Elementa|Elementan]] kirjassa XI, että "luku on parillinen, jos se voidaan puolittaa". Tämä alkeellinen määritelmä viittaa vanhaan tapaan hahmottaa luvut pikkukivillä, joita voitiin järjestellä kuvioiksi. Lukumäärää vastaava kivikasa voidaan siten puolittaa eli järjestää kahteen yhtäsuureen kasaan. <ref name=fuchs79/> Antiikin kreikkalaiset eivät pitäneet lukua yksi parillisena tai parittomana lukuna. Lukuja yksi ja kaksi eivät olleet alkulukuja, sillä niitä pidettiin parillisten ja parittomien lukujen synnyttäjinä. Parittomia lukuja pidettiin ensisijaisina, koska pariton + pariton antoi parillisen luvun, mutta parillinen + parillinen antoi parillisen luvun. <ref name=boyer97/>
==Lähteet==
*{{Kirjaviite | Tekijä =Fuchs, Walter R. | Nimeke =Matematiikka | Suomentaja =Mattila, Pekka | Vuosi =1968 | Julkaisupaikka =Länsi-Saksa | Julkaisija =Kirjayhtymä | Viitattu = }}
* {{Kirjaviite | Tekijä =Barrow John D. | Nimeke =Lukujen taivas | Suomentaja =Vilikko, Risto | Vuosi =1999 | Julkaisupaikka =Smedjebacken, Ruotsi | Julkaisija =Art House | Tunniste =ISBN 951-884-231-0 | Viitattu = }}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Boyer, Carl | Nimeke =Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II | Suomentaja =Pietiläinen, Kimmo | Vuosi =1994 | Julkaisupaikka =Juva | Julkaisija =Art House | Tunniste =ISBN 951-884-159-4 | Viitattu = }}
*{{Kirjaviite | Tekijä =Spiegel, Murray R. | Nimeke =Mathematical Handbook of Formulas and Tables | Vuosi =1968 | Julkaisupaikka =New York | Julkaisija =McGraw-Hill Book Company | Viitattu = | Kieli ={{en}} }}
{{viitteet|sarakkeet|viitteet=
* <ref name=barrow_108>Barrow John D.: Lukujen taivas, s. 108-120</ref>
* <ref name=mhb108>Spiegel, Murray R.: Math. Handbook, s. 108 </ref>
* <ref name=fuchs79>Fuchs, Walter: Matematiikka, ss. 77-84 </ref>
* <ref name=boyer97>Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, s. 97</ref>
* <ref name=boyer_myst>Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, s. 90-91</ref>
* <ref name=boyer262>Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar, s. 262</ref>
*<ref name=ww_even>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/EvenNumber.html | Nimeke =Even Number | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=ww_odd>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/OddNumber.html | Nimeke =Odd Number | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
*<ref name=ww_parity>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/Parity.html | Nimeke =Parity | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World - A Wolfram Web Resource | Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}} }}</ref>
<ref name=oeis>OEIS: [http://oeis.org/A005408 Parittomat luvut]</ref>
}}
[[Luokka:Aritmetiikka]] [[Luokka:Luonnolliset luvut]][[Luokka:Kokonaisluvut]]▼
▲[[Luokka:Aritmetiikka]][[Luokka:Luonnolliset luvut]][[Luokka:Kokonaisluvut]]
[[ca:Nombre senar]]
| |||