Ero sivun ”Avoin joukko” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p r2.7.1) (Botti lisäsi: id:Himpunan terbuka |
KLS (keskustelu | muokkaukset) |
||
Rivi 9:
== Esimerkkejä ==
* Erityisen tärkeitä avoimia joukkoja ovat
=== Ympäristöt ===
Rivi 15:
Avoimiin joukkoihin liittyy oleellisesti '''ympäristön''' käsite. Jos <math>x \in X</math> ja on olemassa avoin joukko <math>U \in \mathcal{T}</math>, jolla <math>x \in U</math>, niin joukkoa ''U'' kutsutaan pisteen ''x'' ympäristöksi.
Avoin joukko voidaan karakterisoida myös ympäristöjen avulla. Voidaan nimittäin osoittaa, että joukko ''U'' on avoin, jos ja vain jos jokaisella joukon ''U'' pisteellä on olemassa ympäristö, joka sisältyy joukkoon ''U''.
[[Metrinen avaruus|Metrisissä avaruuksissa]] tätä voidaan käyttää avoimen joukon määritelmänäkin. Tällöin määritellään, että joukko <math>U</math> on pisteen <math>x \in T</math> ympäristö, jos on olemassa sellainen positiivinen luku <math>\epsilon > 0</math>, että kaikki joukon <math>U</math> pisteet, joiden etäisyys <math>x</math>:stä on pienempi kuin <math>\epsilon</math>, kuuluvat joukkoon <math>T</math>. Metrisen avaruuden osajoukko <math>U</math> on ''avoin'', jos sen jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan sisältyy U:hun.
Ympäristöjen ja avoimien joukkojen avulla voidaan helposti määritellä keskeisiä topologian käsitteitä:
| |||