Ero sivun ”Holomorfinen funktio” versioiden välillä

Reaalisen ja kompleksisen derivoituvuuden välinen suhde voidaan esittää seuraavasti: Jos kompleksifunktio {{nowrap|''ƒ''(''x'' + i ''y'')}} = {{nowrap|''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'', ''y'')}} on holomorfinen, funktioilla ''u'' ja ''v'' on ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ''x'':n ja ''y'':n suhteen. Nämä osittaisderivaatat toteuttavat [[Cauchyn–Riemannin yhtälö|Cauchyn–Riemannin yhtälöt]]:

 

 

Vaikka osittaisderivaatat toteuttaisivat Cauchyn-Riemannin yhtälöt, funktio ei automaattisesti ole holomorfinen, vaan tarvitaan lisätietoa joko funktion tai osittaisderivaattojen jatkuvuudesta. Yksinkertaisimmillaan voidaan osoittaa, että jos funktioilla ''u'' ja ''v'' on ''jatkuvat'' ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat, jotka toteuttavat [[Cauchyn–Riemannin yhtälö|Cauchyn–Riemannin yhtälöt]], ''ƒ'' on holomorfinen. Tyydyttävämpi lause, joka on vaikeampi todistaa, on [[Looman–Menchoffin lause]]: jos funktio ''ƒ'' on jatkuva ja funktioilla ''u'' ja ''v'' on ensimmäisen kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, jotka toteuttavat [[Cauchyn–Riemannin yhtälö|Cauchyn–Riemannin yhtälöt]], ''ƒ'' on holomorfinen.