Ero sivun ”Homologia” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: pt:Homologia (matemática) |
p kh |
||
Rivi 39:
== Kategorinen näkökulma ==
Tietty homologiateoria voidaan tulkita myös [[kategoria teoria|kategoriseksi]] [[funktori|funktoriksi]], joka vie jonkin määrityn kategorian Abelin modulien kategoriaan. Näin katsottuna <math>H_*</math> on kovariantti funktori. Siis jos <math>X</math> ja <math>Y</math> ovat samassa kategoriassa <math>\mathcal{A}</math>, ja <math>f:X\to Y</math> on [[morfismi]] niiden välillä, silloin homologiassa <math>H_*(f)</math> vie <math>H_*(X)</math>:n <math>H_*(Y)</math>:iin. Usein <math>H_*(f)</math> kirjoitetaan <math>f_*</math>.
Singulaarinen homologia on siten funktori topologisen avaruuksien kategoriasta Abelin modulien kategoriaan. Jos <math>\sum_{i=1}^n a_n\sigma_i</math> on [[ketju]] jossain topologisessa avaruudessa <math>X</math>, ja <math>f:X\to Y</math> on jatkuva kuvaus, niin summa <math>\sum_{i=1}^n a_n f \circ \sigma_i</math> on ketju <math>Y</math>:ssä. Näin <math>f</math>:stä tule homomorfismi <math>f_*:H_*(X)\to H_*(Y)</math>.
Kategoriateorian näkökulmasta [[kohomologia]] on kontravariantti homologiateoria, jossa siis kohomologiafunktori <math>H^*</math> on kontravariantti. Näin kohomologia on homologian kategorinen duaali. Kullekin homologian ketjukompleksin modulille on siis duaalimoduli vastaavan kohomologian ketjukompleksissa. Ketjukompleksissa, josta kohomologiaryhmät muodostetaan, homomorfismit kuvaavat aina astetta ylemmälle modulille:
== Linkkejä ==
| |||