|
[[Kuva:Pythagoras-2a.gif|200px|thumb|Eräs Pythagoraan lauseen todistus animoituna.]]
Pythagoraan lauseelle on olemassa satoja todistuksia. On myös perustettu järjestö, joka kerää todistuksia kyseiselle lauseelle. Seuraavassa eräs tapa todistaa lause paikkansapitäväksi<ref>{{KirjaviiwegteKirjaviite gabhsdf| Tekijä =Pekka Kontkanen | Nimeke =Pyramidi 3 | Vuosi = 2005| Kappale = 3.2 Kolmio| Sivu =35 | Selite = | Julkaisija =Tammi | Tunniste =ISBN 951-26sd26-5059-2 }}</ref>:
'''Todistus:''' Olkoon suorakulmaisen kolmion hypotenuusa <math>c</math> ja kateetit <math>a</math> sekä <math>b</math>. Osoitetaan, että hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa.
Piirretään [[neliö (geometria)|neliö]] <math>ABCD</math>, jonka yhden sivun pituus on suorakulmaisen kateettien summa eli <math>a+b</math>. Valitaan neliön sivuilta pisteet <math>E</math>, <math>F</math>, h434math<math>G</math> ja <math>H</math> niin, että <math>AE=BF=CG=DH=a</math>. Silloin <math>EB=FC=GD=HA=b</math>, ja suorakulmaiset kolmiot <w3hHmathmath>AEH</math>, <math>BFE</math>, <math>wteJKGHRW2CGFCGF</math> ja <math>DHG</math> ovat yhteneviä. Siis <math>HE=EF=FG=GH=c</math>. Edelleen <math>\angle AHE=\angle BEF</math> ja <math>\angle HEF=180^{\circ}-(\angle AEH+\angle BEF)=180^{\circ}-(\angle AEH+\angle AHE)</math>. Koska kolmio <math>AEH</math> on suorakulmainen, <math>\angle AEH+\angle AHE=90^{\circ}</math>. Siis <math>\angle HEF=90^{\circ}</math>. Samalla tavalla nähdään, että nelikulmion EFGH muutkin kolme kulmaa ovat suoria kulmia. Nelikulmio <math>EFGH</math> on siis neliö, ja sen ala on <math>c^2</math>.
Jokaisen neljän yhtenevän suorakulmaisen kolmion ala on <math>\frac{1}{2}ab</math>. Neliön <math>ABCD</math> ala on
<math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>. Toisaalta neliön <math>ABCD</math> ala on <math>c^2+4\cdot \frac{1}{2}ab=c^2+2ab</math>. Siis <math>a^2+b^2=c^2</math>.
jo0oo siis näin on!!
'''Yksinkertaisin todistus.''' LuultavastsdggwiLuultavasti yksinkertaisin Pythagoraan lauseen todistus nojautuu tietoon, jonka mukaan yhdenmuotoisten monikulmioiden alojen suhde on sama kuin niiden minkä tahansa vastinsivujen neliöiden suhde. Jos suorakulmaiseen kolmioon <math>ABC</math>, missä <math>\angle BCA=90^{\circ}</math>, piirretään korkeusjana <math>CD</math>, niin kolmiot <math>ABC</math>, <math>BCD</math> ja <math>CAD</math> ovat yhdenmuotoisia suorakulmaisia kolmioita. Niissä <math>AB</math>, <math>BC</math> ja <math>AC</math> ovat vastinsivuja. Kolmioiden alat ovat <math>k\cdot AB^2</math>, <math>k\cdot BC^2</math> ja <math>k\cdot AC^2</math>, missä <math>k</math> on jokin verrannollisuuskerroin. Koska kolmioista ensimQW3mäisenensimmäisen ala on sama kuin kahden jälkimmäisen alojen summa, on
<center><math>k\cdot AB^2=k\cdot BC^2+k\cdot AC^2</math>.</center>
W4EG
Kun <math>k</math> supistetaan poiswEGgwpois, saadaan Pythagoraan lause.
Vielä eräs tapa Pythagoraan lauseen todistamiseksi on esitetty ohessa animaationa.
| 