Päässälasku

Päässälaskulla tarkoitetaan matemaattisten laskutoimitusten suorittamista mielessä, ilman apuvälineitä. Käsien ja eleiden käyttö muistiapuna sekä itsekseen mumina katsotaan yleensä kuuluvan päässälaskun piiriin, laskutoimitukset kynällä ja paperilla sen sijaan eivät.

Suppeasti käsitettynä päässälasku on vastaavien tehtävien ratkaisemista kuin laskimella, mutta ilman laskinta. Ihminen voi harjoittelun kautta päästä jopa tavallisten laskinten kapasiteetin ylittäviin suorituksiin, kuten 13. juuren ottamiseen 200-numeroisesta luvusta. Laskin ratkaisee matemaattiset tehtävät erilaisten algoritmien avulla, ja periaatteessa mielen voi opettaa käyttämään samantyyppisiä tai ihmiselle optimoituja algoritmeja.

Päässälaskuksi kutsutaan etenkin peruskoulun ja lukion opetuksessa toisinaan myös sanallisia tai oivaltamistehtäviä, joissa ongelma tulee ensin osata muuttaa laskettavaan muotoon ja sitten ratkaista. Näille on tyypillistä, että välivaiheiden aikana lasku supistuu helposti laskettavaksi. Päässälasku voidaan käsittää myös laajasti tarkoittamaan koko matemaattisten tehtävien muodostamista mielessä tosielämän tilanteiden pohjalta. Vaikka itse laskutoimitus suoritettaisiinkin laskimella, ongelman muotoilu tapahtuu aivoissa.

Koska päässälaskutaidot sekä ongelmanmuotoilu- ja ratkaisukyvyt ovat sidoksissa toisiinsa, voidaan päässälaskua harjoittamalla parantaa arkielämän matemaattisia ajatteluvalmiuksia. Kyvyn ylläpitäminen edellyttää kuitenkin aktiivista päässälaskujen harjoittamista

Kilpaileminen

Päässälaskun varsinainen aritmeettinen osuus koostuu peruslaskutoimitusten suorittamisesta oikein ja nopeasti. Päässälaskun SM-kisoissa yleisimpiä tehtäviä ovat yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskut, neliöön korottaminen sekä juurien ottaminen. Jakolaskussa ja juurien ottamisessa tehtävien ratkaisu on kokonaisluku. Kilpailuissa tehtävät ovat helppoja eivätkä vaadi kehittyneiden algoritmien omaksumista.

Päässälaskun tekniikoita

Yhteenlasku

Kahden luvun yhteenlasku

Jos luvut ovat pieniä, on tulos usein mahdollista laskea nopeasti. Pidemmillä luvuilla voi käyttää allekkain laskusta tuttua oikealta vasemmalle -tekniikkaa, mutta siinä on ongelmansa. Välituloksen tallentaminen muistiin vaatii resursseja. Tehokkaampi on vasemmalta oikealle -menetelmä. Seuraavassa esitettynä esimerkkiharjoituksia kolminumeroisile luvuille.

384

+213

Laskutoimitus aloitetaan vasemmalta laskemalla sataset yhteen. Tässä tapauksessa satasia on $2+3=5$. Vastaavalla tavalla lasketaan yhteen kymmenet ($8+1=9$) ja ykköset ($4+3=7$). Laskun tulos on näin ollen 597.

Useimmiten tehtävän ratkaiseminen on kuitenkin vaikeampaa, ja tällöin tarvitaan muistinumeroa. On siis vilkaistava seuraavaa numeroa ja tutkittava, tapahtuuko niin sanottu ylivuoto. Ylivuodon tapauksessa yhteen laskettujen numeroiden summa on vähintään kymmenen, ja tällöin "yli vuotaneet" kymmenet lisätään edeltävään laskettuun lukuun. Esimerkiksi alla olevassa tapauksessa keskimmäisen laskun ($8+3=11$) tapauksessa ylivuoto on tapahtunut, ja saadut kymmenet lisätään laskettuihin satoihin, jolloin satasia on siis yhteensä $3+2+1=6$.

384

+233

Useamman luvun yhtäaikainen yhteenlasku

Useamman kuin kahden luvun yhtäaikaiseen yhteenlaskuun on erilaisia menetelmiä. Menetelmän valinta riippuu siitä, kuinka paljon yhteenlaskettavia lukuja on ja kuinka pitkiä ne ovat. Voidaan joko laskea oikealta alkaen (koulussa opetettu menetelmä laskea paperilla lukuja yhteen), vasemmalta alkaen (ks. yllä) tai lisäämällä luvut yksi kerrallaan välisummaan.

Neliöinti

Mielivaltaisen luvun neliöinti

Mielivaltaisen luvun neliöinnissä voi käyttää luvun kertomista itsellään kertolaskualgoritmilla. Nopeampi tapa on kuitenkin käyttää menetelmää, jossa neliöitävä luku pyöristetään helpommin neliöitävään lukuun, ja varsinainen lasku suoritetaan käyttämällä kaavaa $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.

Kaksinumeroisen luvun neliöinti

Kaksinumeroisen luvun neliöinti on tehtävätyyppi, joka soveltuu kilpailutehtäväksi hyvin sen vuoksi, että ilmeistä parasta algoritmia ratkaisemiseen ei ole, ja kaikkien vastausten opetteleminen ulkoa ei ole lähtökohtaisesti mielekästä.

Tehtävän voi ratkaista mm.

1. kertomalla luku itsellään eli kaksinumeroinen luku kaksinumeroisella luvulla,

2. mielivaltaisen luvun neliöinnin menetelmällä pyöristämällä lähimpään kymmeneen (ja siitä poispäin), kertomalla kaksinumeroinen luku yksinumeroisella ja lisäämällä triviaali neliö (1, 4, 9 tai 16) tai

3. hyödyntämällä sääntöä, jonka mukaan neliöitävän luvun päättyessä tiettyyn numeroon päättyy sen neliökin aina tiettyyn numeroon:

Kuutiojuuri

Kuutiojuuren ottaminen kaksinumeroisen luvun kuutiosta

Eräs tapa kuutiojuuren ottamiseen kaksinumeroisesta luvusta on varsin nopea. Alkuperäisen luvun on oltava jonkin kokonaisluvun kuutio, esimerkiksi:

23³ = 12 167

86³ = 636 056

Tehtävän suorittamiseen täytyy osata yksinumeroisten lukujen kuutiot $1^{3}...9^{3}$ sekä "kääntösääntö" (ts. 2<->8 ja 3<->7).

Algoritmi perusteluineen on seuraava:

- Tiedetään, että vastauksen on oltava kaksinumeroinen (näin on aina, jos kuutiossa on 4--6 numeroa, koska 10³ = 1 000 ja 100³ = 1 000 000).

- Tulee siis selvittää ensimmäinen numero (kymmenet) ja toinen numero (ykköset).

- Ykköset saadaan selville tietämällä, että luvun kuution viimeinen numero on sama kuin luvun viimeisen numeron kuution viimeinen numero. (Kertolaskussa viimeiseen numeroon ei vaikuta muu kuin viimeinen numero). Havaitaan, että luvun kuution viimeinen numero on useimmiten luku itse, paitsi yllä olevissa kääntösäännön mukaisissa tapauksissa:

0³ = 0

1³ = 1

2³ = 8 (kääntö 2->8)

3³ = 27 (kääntö 3->7)

4³ = 64

5³ = 125

6³ = 216

7³ = 343 (kääntö 7->3)

8³ = 512 (kääntö 8->2)

9³ = 729

- Kuutiojuuren kymmenet pystytään päättelemään kuution suuruusluokasta, joka ilmenee sen kolmesta ensimmäisestä numerosta (tuhannet ja suuremmat). Tässä auttaa hahmottaa, että (10a)³ = 1000a³, eli jos luvussa on 0 ykkösten paikalla, sen kuutiossa on kolme nollaa. Esimerkiksi 60³ on siis yhtä kuin 1000*6³ = 216 000. Jokainen tätä suurempi kuutio on tällöin oltava sellaisesta luvusta, joka on suurempi kuin 60. Tarvitsee siis vain osata sijoittaa kuution "tuhat-osa" oikeaan kohtaan yksinumeroisten lukujen kuutioiden taulukkoa. Jos se on suurempi (tai yhtä suuri) kuin 216 mutta pienempi kuin 343, vastauksen kymmenet on oltava 6.

Luvun jakaminen tekijoihin

Luvun jakamisessa tekijöihin pääsee alkuun hyödyntäen jaollisuussääntöjä.

Yksi jaottomuussääntö on esimerkiksi se, että jos luvulla ei ole pienempää tai yhtä suurta tekijää kuin luvun neliöjuuri, on se jaoton.

Aiheesta muualla

• MAOL: Päässälaskut matematiikanopetuksessa (Arkistoitu – Internet Archive)