Osittain järjestetty joukko

Osittain järjestetty joukko on matemaattinen rakenne, joka on esijärjestetyn joukon ohella yksinkertaisin "järjestyksen" käsitystä formalisoiva rakenne. Osittain järjestetty joukko koostuu joukosta sekä binäärirelaatiosta tässä joukossa. Relaatiota itseään kutsutaan osittaisjärjestykseksi.

Täsmällisesti, relaatiota kutsutaan osittaisjärjestykseksi jos se on refleksiivinen, transitiivinen ja antisymmetrinen.

Osittaisuus tarkoittaa, ettei joukon kaikista alkiopareista voi välttämättä sanoa kumpi on "suurempi", "järjestyksessä ensin" tms. Järjestys ei välttämättä tarkoita mitään tavanomaista suuruusjärjestystä, vaikka luonnollisten lukujen sekä reaalilukujen tavanomainen suuruusjärjestys onkin esimerkki osittaisjärjestyksestä, jossa kaikki alkiot ovat vertailtavissa. Näin ollen osittain järjestetyn joukon voidaan ajatella olevan täysin järjestetyn joukon yleistys. Esimerkiksi tason pisteiden etäisyys origosta muodostaa osittaisen järjestyksen. Jos on kauempana kuin ja kauempana kuin , niin on kauempana kuin . Järjestys ei ole täydellinen, koska esimerkiksi pisteistä ja kumpikaan ei ole kauempana kuin toinen.

MääritelmäMuokkaa

Pari  , jossa   on joukko ja   binäärirelaatio joukossa  , on osittain järjestetty joukko jos kaikille joukon   alkoille   ja   pätee

  1.   (refleksiivisyys),
  2. jos   ja  , niin   (transitiivisuus),
  3. jos   ja  , niin   (antisymmetrisyys).

Toisin sanottuna osittain järjestetty joukko on esijärjestetty joukko, joka on myös symmetrinen. On tavanomaista merkitä osittain järjestettyä joukkoa pelkällä joukolla  , mikäli on selvää, mistä binäärirelaatiosta on kyse. On myöskin tavanomaista määritellä binäärirelaatio   siten että   jos ja vain jos  .

EsimerkkejäMuokkaa

Antilla on tyttäret Bertta ja Cecilia, joista viimeksi mainitulla poika David. Määritellään   tarkoittamaan "x on y tai y:n esivanhempi". Tällöin esimerkiksi Antti   David, mutta Bertta ja David eivät ole vertailtavissa.

Vaa'an tarkkuus on kolme kiloa kumpaankin suuntaan. Antti painaa 60±3 kg, Bertta 65±3 kg, Cecilia 70±3 kg ja David 75±3 kg. Määritellään   tarkoittamaan "x on ainakin yhtä painava kuin y". Tuloksena ei ole täydellinen järjestys, koska esimerkiksi Antti ja Bertta eivät ole vertailtavissa.

Määritellään positiivisten kokonaislukujen joukossa   tarkoittamaan "x voidaan jakaa tasan luvulla y". Selvästi jos luku   jakaa tasan luvun   ja   jakaa tasan luvun  , niin   jakaa luvun  . Ei-vertailtavia ovat esimerkiksi luvut 2 ja 3.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Birkhoff, Garrett: Lattice Theory. American Mathematical Society, 1940. ISBN 978-0-8218-1025-5.
  • Davey, B. A. ; Priestley, H.A.: Introduction to Lattices and Order. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-78451-4.
  • Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics, s. 150-165. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.
  • Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.