Newtonin summat

Newtonin summia voidaan käyttää polynomiyhtälön juurten potenssien summien laskemiseen.

Olkoon P(x) n-asteen polynomi

$\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

Olkoon yhtälön $P(x)=0$ juuret $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$. Määritellään seuraavat summat:

$\displaystyle S_{1}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}$

$\displaystyle S_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

$\vdots$

$\displaystyle S_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}$

$\vdots$

Newtonin summien mukaan,

$\displaystyle a_{n}S_{1}+a_{n-1}=0$

$\displaystyle a_{n}S_{2}+a_{n-1}S_{1}+2a_{n-2}=0$

$\displaystyle a_{n}S_{3}+a_{n-1}S_{2}+a_{n-2}S_{1}+3a_{n-3}=0$

$\vdots$

Aiheesta muualla

AOPS-wikin artikkeli