Matematiikassa Muirheadin epäyhtälö yleistää aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välisen epäyhtälön. Sen mukaan jos reaaliluvuille
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c87686815196f3279f718d6f3cf3e8aa3b6246)
on voimassa
![{\displaystyle a_{1}\leq b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d634e29f6051e3c940452c0d0b51ff322342fa25)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}\leq b_{1}+b_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72721741ce00507e60320b247c77dfe0f9164d38)
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}\leq b_{1}+b_{2}+b_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bba41d1901b5d9e5bd20a4271aa33f96f9b086)
![{\displaystyle \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots \qquad \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434e5c96a708d341fc69a1ca71c00726d6160f1f)
![{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n-1}\leq b_{1}+\cdots +b_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7b464c44f0f7d7b9a81bb830a35334cdca13e9)
![{\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=b_{1}+\cdots +b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1fa28d5885b99c813d344d610c3b1f34e074b29)
niin tällöin
, missä σ käy läpi kaikki lukujen 1,...,n permutaatiot.
Proschan ja Seutherman ovat yleistäneet Muirheadin epäyhtälön muotoon
![{\displaystyle \sum _{\sigma }f(\sigma _{1},a_{1})\cdots f(\sigma _{n},a_{n})\geq \sum _{\sigma }f(\sigma _{1},b_{1})\cdots f(\sigma _{n},b_{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512eb6dde08d92cb8a7b045a2ed21b22c0368ddf)
missä f on logaritmisesti konveksi funktio x:n suhteen.