Kokonaislukujono

Kokonaislukujono on lukujono, jonka jäsenet kuuluvat kokonaislukujen joukkoon.

Kokonaislukujonoa kutsutaan äärelliseksi eli päättyväksi, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (1, 1, 1, 1,...) ja (2, 4, 6, 8,...) päättymättömiä lukujonoja.

Ominaisuuksia

• Sama luku voi toistua kokonaislukujonossa määräämättömän monta kertaa.
• Kokonaislukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
• Kokonaislukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Määritelmä

Tarkemmin kokonaislukujonolla (a_n) tarkoitetaan kuvausta

$a:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$

missä $\mathbb {N}$ on luonnollisten lukujen joukko ja $\mathbb {Z}$ kokonaislukujen joukko.

Lukujonoa merkitään a(n) = a_n. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a₀, a₁, a₂,... nimitetään lukujonon jäseniksi.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee x_n ≤ x_n+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee x_n < x_n+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

Erikoistapauksia

Aritmeettinen kokonaislukujono

Aritmeettinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus $d$ on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on $a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.

Geometrinen kokonaislukujono

Geometrinen kokonaislukujono on sellainen kokonaislukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä $q$ on vakio. Jos $q$ on esimerkiksi 2, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina kaksinkertainen edelliseen verrattuna. Esim. $1,2,4,8,16,...$ .

Geometrisen lukujonon yleinen termi on $a_{n}=a_{1}q^{(n-1)}$.

Esimerkkejä

1. $(a_{n})=n$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa $a_{0}=0,a_{1}=1$ ...

• Toisin sanoen $(a_{n})=0,1,2,3,4,5,6,...$

2. $(b_{n})=n^{2}$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa $a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=4,...$

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

$\left\{{\begin{matrix}f_{1}&=&1&\\f_{2}&=&1&\\f_{n+1}&=&f_{n}+f_{n-1},&n=2,3,4...\end{matrix}}\right.$

• Täten esimerkiksi $f_{3}=f_{2}+f_{1}=1+1=2,\quad f_{4}=f_{3}+f_{2}=2+1=3$.
• Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

$\left\{{\begin{matrix}a_{0}=2\\a_{n+1}=(a_{n})^{2}\end{matrix}}\right.$

saadaan lukujono 2, 2² = 4, 4² = 16, 16² = 256, 256² = 65536,..., ts. a₀=2, a₁=4, a₂=16, a₃=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Katso myös

• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (laaja internet-tietokanta kokonaislukujonoista)

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.