Kochin käyrä

Kochin käyrä eli Kochin lumihiutale on yksi ensimmäisistä määritellyistä fraktaalikäyristä. Käyrä on nimetty keksijänsä, ruotsalaisen matemaatikon Helge von Kochin mukaan, joka kuvasi sen vuonna 1904.

Kochin käyrä tunnetaan muotonsa vuoksi myös Kochin lumihiutaleena tai lumihiutalekäyränä. Animaatiossa seitsemän ensimmäistä vaihetta.

Kochin käyrä saadaan äärettömän approksimaatioiden jonon raja-arvona. Ensimmäinen approksimaatio on tasasivuinen kolmio, jonka jokainen sivu on suora jana (___). Janan keskimmäinen kolmannes korvataan sitten kahdella palasella, joista kumpikin on janan kolmanneksen mittainen ja jotka muodostavat tasasivuisen kolmion kaksi sivua (_/\_). Kussakin vaiheessa kunkin uuden janan (joita vaiheessa 2 on 4) keskimmäinen kolmannes korvataan tasasivuista kolmiota muistuttavalla "piikillä". Lopputuloksena on lumihiutaletta muistuttava muoto.

Jokaisessa vaiheessa käyrän pituus kasvaa kolmasosan entisestään eli 4/3-kertaiseksi, ja käyrän lopullinen pituus on ääretön. (Jos alkuperäisen kolmion sivujen yhteenlaskettu pituus on 3 · x ja sivut korvataan tällä tavoin pidemmillä murtoviivoilla n kertaa, on saadun murtoviivan pituus 3 · x · (4/3)ⁿ, ja tämä lause kasvaa rajatta n:n kasvaessa.) Kuitenkin kuvion rajoittama pinta-ala pysyy pienempänä kuin alkuperäisen kolmion ympäri piirretyn ympyrän ala. Äärettömän pitkä viiva ympäröi äärellistä aluetta.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Kochin käyrä Wikimedia Commonsissa