Einsteinin kenttäyhtälöt

Einsteinin kenttäyhtälöt tai Einsteinin yhtälöt ovat kymmenen Albert Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian yhtälöä, jotka kuvaavat gravitaation massan ja energian aiheuttamana aika-avaruuden kaareutumana. Tarkalleen ottaen kenttäyhtälöt ilmaisevat yhteyden avaruuden geometrian ja siellä olevan massan ja energian välillä. Kenttäyhtälöt julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1915. Yhtälöissä käytetään tensoreita, mikä mahdollistaa niiden esittämisen ja käytön valitusta koordinaatistosta riippumatta.

Kenttäyhtälöt ovat muotoa

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\mathcal {R}}g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$,

käytetyn metriikan signatuurin ollessa +−−−. Yhtälössä esiintyvistä tensoreista $R_{\mu \nu }$ on Riccin tensori, $g_{\mu \nu }$ on metrinen tensori ja $T_{\mu \nu }$ energia-impulssitensori. Skalaareista ${\mathcal {R}}$ on Riccin kaarevuusskalaari (määräytyy Riccin tensorista), c valon nopeus ja G gravitaatiovakio. Yleensä määritellään Einsteinin tensori

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\mathcal {R}}g_{\mu \nu }$,

jolloin kenttäyhtälöt saavat yksinkertaisemman muodon

$G_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$.

Aukikirjoitettuna yllä olevasta yleisestä muodosta saadaan kaikkiaan kymmenen yhtälön ryhmä.

Kosmologinen vakio

Historiallisesti tärkeä yksityiskohta on, että yhtälöön voidaan lisätä ainoastaan metrisestä tensorista riippuva termi, jolloin kenttäyhtälöt saavat muodon

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

ilman, että se vaikuttaa energian säilymislakiin. Itse asiassa Einstein teki näin havaittuaan, että kenttäyhtälöillä ei ollut staattista ratkaisua, vaan maailmankaikkeuden pitäisi joko laajentua tai supistua. Kosmologisella vakiolla aikaansaatu staattinen ratkaisu ei kuitenkaan ole stabiili. Maailmankaikkeuden laajeneminenhan havaittiin vasta hiukan myöhemmin. Skalaarikerrointa Λ, jolla on mahdollista säätää ratkaisun käyttäytymistä tällä tavoin, kutsutaan kosmologiseksi vakioksi. Kosmologian keskeisiä ongelmia on, ettei suhteellisuusteoria anna kosmologiselle vakiolle minkäänlaista teoreettista arvoa, vaan se on määrättävä puhtaasti havaintojen perusteella.

Kirjallisuutta

• Aczel, Amir D., 1999. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. A popular account.
• Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation. W H Freeman.